· 跟踪练习 3 某 4S 店欲购进 A 和 B 两种品牌的雪地胎，已知 A 品牌的进价比 B 品牌的进价每个少 100 元。经计算，用 2 万元购进的 A 品牌的雪地胎的数量与用 2.4 万元购进的 B 品牌的雪地胎的数量相同。
(1) 两种品牌的雪地胎每个的进价为多少元？
(2) 若该 4S 店欲购进两种品牌的雪地胎共 100 个，投入的总资金不超过 54 400 元，且 A 品牌的雪地胎不超过 64 个（假设每辆车一次换 4 个雪地胎），则该 4S 店有哪几种进货方案？
(1) 两种品牌的雪地胎每个的进价为多少元？
(2) 若该 4S 店欲购进两种品牌的雪地胎共 100 个，投入的总资金不超过 54 400 元，且 A 品牌的雪地胎不超过 64 个（假设每辆车一次换 4 个雪地胎），则该 4S 店有哪几种进货方案？
答案：(1)设B品牌雪地胎每个进价为$x$元，则A品牌雪地胎每个进价为$(x - 100)$元。
根据题意，得$\frac{20000}{x - 100} = \frac{24000}{x}$
交叉相乘得：$20000x = 24000(x - 100)$
化简：$20000x = 24000x - 2400000$
移项：$4000x = 2400000$
解得：$x = 600$
经检验，$x = 600$是原方程的解，且符合题意。
则A品牌进价为$600 - 100 = 500$元。
答：A品牌进价500元，B品牌进价600元。
(2)设购进A品牌雪地胎$m$个，则购进B品牌雪地胎$(100 - m)$个。
根据题意，得$\begin{cases}500m + 600(100 - m) ≤ 54400 \\ m ≤ 64\end{cases}$
解不等式$500m + 600(100 - m) ≤ 54400$：
$500m + 60000 - 600m ≤ 54400$
$-100m ≤ -5600$
$m ≥ 56$
又$m ≤ 64$，且$m$为整数，
所以$m = 56,57,58,59,60,61,62,63,64$。
对应的$100 - m = 44,43,42,41,40,39,38,37,36$。
答：共有9种进货方案，分别为：
①A品牌56个，B品牌44个；
②A品牌57个，B品牌43个；
③A品牌58个，B品牌42个；
④A品牌59个，B品牌41个；
⑤A品牌60个，B品牌40个；
⑥A品牌61个，B品牌39个；
⑦A品牌62个，B品牌38个；
⑧A品牌63个，B品牌37个；
⑨A品牌64个，B品牌36个。
根据题意，得$\frac{20000}{x - 100} = \frac{24000}{x}$
交叉相乘得：$20000x = 24000(x - 100)$
化简：$20000x = 24000x - 2400000$
移项：$4000x = 2400000$
解得：$x = 600$
经检验，$x = 600$是原方程的解，且符合题意。
则A品牌进价为$600 - 100 = 500$元。
答：A品牌进价500元，B品牌进价600元。
(2)设购进A品牌雪地胎$m$个，则购进B品牌雪地胎$(100 - m)$个。
根据题意，得$\begin{cases}500m + 600(100 - m) ≤ 54400 \\ m ≤ 64\end{cases}$
解不等式$500m + 600(100 - m) ≤ 54400$：
$500m + 60000 - 600m ≤ 54400$
$-100m ≤ -5600$
$m ≥ 56$
又$m ≤ 64$，且$m$为整数，
所以$m = 56,57,58,59,60,61,62,63,64$。
对应的$100 - m = 44,43,42,41,40,39,38,37,36$。
答：共有9种进货方案，分别为：
①A品牌56个，B品牌44个；
②A品牌57个，B品牌43个；
③A品牌58个，B品牌42个；
④A品牌59个，B品牌41个；
⑤A品牌60个，B品牌40个；
⑥A品牌61个，B品牌39个；
⑦A品牌62个，B品牌38个；
⑧A品牌63个，B品牌37个；
⑨A品牌64个，B品牌36个。
1. 某厂准备加工 500 个零件，在加工了 100 个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的 2 倍，结果共用 6 天完成了任务。若设该厂原来每天加工 $x$ 个零件，则由题意，可列方程为()。
A.$\frac{100}{2x}+\frac{500}{x}=6$
B.$\frac{100}{x}+\frac{500}{2x}=6$
C.$\frac{100}{x}+\frac{500-100}{2x}=6$
D.$\frac{100}{2x}+\frac{500-100}{x}=6$
A.$\frac{100}{2x}+\frac{500}{x}=6$
B.$\frac{100}{x}+\frac{500}{2x}=6$
C.$\frac{100}{x}+\frac{500-100}{2x}=6$
D.$\frac{100}{2x}+\frac{500-100}{x}=6$
答案：C
解析：
设原来每天加工$x$个零件，加工100个零件用的时间为$\frac{100}{x}$天。引进新机器后每天加工$2x$个零件，剩余零件数为$500 - 100 = 400$个，加工剩余零件用的时间为$\frac{400}{2x}$天。根据共用6天完成任务，可列方程$\frac{100}{x}+\frac{500 - 100}{2x}=6$。
2. 一项工程有三种施工方案：①甲队单独施工，刚好如期完工；②乙队单独施工，要比规定工期多用 5 天完工；③……，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工。求规定工期的天数。
小明解答时设规定工期为 $x$ 天，根据题意列方程 $\frac{4}{x}+\frac{x}{x+5}=1$，则方案③中的条件“……”处应该是()。
A.甲队先做了这项工程的 $\frac{1}{4}$
B.甲、乙两队先合作了 4 天
C.甲队先做了 4 天
D.甲、乙两队先合作完成了这项工程的 $\frac{1}{4}$
小明解答时设规定工期为 $x$ 天，根据题意列方程 $\frac{4}{x}+\frac{x}{x+5}=1$，则方案③中的条件“……”处应该是()。
A.甲队先做了这项工程的 $\frac{1}{4}$
B.甲、乙两队先合作了 4 天
C.甲队先做了 4 天
D.甲、乙两队先合作完成了这项工程的 $\frac{1}{4}$
答案：B
解析：
设规定工期为$x$天，甲队效率为$\frac{1}{x}$，乙队效率为$\frac{1}{x+5}$。方程$\frac{4}{x}+\frac{x}{x+5}=1$中，$\frac{4}{x}$为甲队工作量（效率$×$时间），$\frac{x}{x+5}$为乙队工作量（效率$×$时间）。乙队工作时间为$x$天，因总工期为$x$天，故乙队单独做的时间为$x - 4$天，前期合作时间为$4$天，即甲、乙先合作4天，剩下由乙单独做，符合方程。
3. 老师上课时提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为 36 元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价的九折销售，这家超市销售这种饮料的原价是每瓶多少元及每箱多少瓶？”以下为四名同学列出的方程，正确的是()。
甲：设该种饮料的原价是每瓶 $x$ 元，则 $\frac{36}{x}-\frac{36}{0.9x}=2$。
乙：设该种饮料每箱 $x$ 瓶，则 $\frac{36}{x} × 0.9 = \frac{36}{x+2}$。
丙：设该种饮料的原价是每瓶 $x$ 元，则 $0.9 × (36+2x)=36$。
丁：设该种饮料每箱 $x$ 瓶，则 $\frac{36}{x} = \frac{36 × 0.9}{x+2}$。
A.甲、乙
B.乙、丙
C.甲、丁
D.丙、丁
甲：设该种饮料的原价是每瓶 $x$ 元，则 $\frac{36}{x}-\frac{36}{0.9x}=2$。
乙：设该种饮料每箱 $x$ 瓶，则 $\frac{36}{x} × 0.9 = \frac{36}{x+2}$。
丙：设该种饮料的原价是每瓶 $x$ 元，则 $0.9 × (36+2x)=36$。
丁：设该种饮料每箱 $x$ 瓶，则 $\frac{36}{x} = \frac{36 × 0.9}{x+2}$。
A.甲、乙
B.乙、丙
C.甲、丁
D.丙、丁
答案：B
解析：
设每箱$x$瓶，原价每瓶$\frac{36}{x}$元，促销时花36元买$x+2$瓶，促销单价为$\frac{36}{x+2}$元，依题意“每瓶按原价九折销售”，得$\frac{36}{x}×0.9 = \frac{36}{x+2}$，乙正确；设原价每瓶$x$元，每箱$\frac{36}{x}$瓶，促销时共$\frac{36}{x}+2$瓶，总价36元等于九折单价乘总瓶数，即$0.9x(\frac{36}{x}+2)=36$，化简得$0.9(36 + 2x)=36$，丙正确。甲方程瓶数关系错误，丁方程分子错误。