【例 2】 如图 15.3-9，在△ABC 中，
AC = BC，F 为 AB 的中点，边 AC 的垂直
平分线分别交 AC，CF，CB 于点 D，O，
E，连接 OA，OB.
(1) 求证：△OBC 为等腰三角形.
(2) 若∠ACF =$22^{\circ}$，求∠BOE 的度数.
证明 (1) 因为 DE 为线段 AC 的垂直
平分线，
所以 OC = OA.
因为 AC = BC，F 为 AB 的中点，
所以 CF 为线段 AB 的垂直平分线.
所以 OB = OA.
所以 OB = OC.
所以△OBC 为等腰三角形.
解 (2) 因为 AC = BC，F 为 AB 的中点，
所以 CF 为∠ACB 的平分线.
所以∠ACF = ∠BCF =$\frac{1}{2}$∠ACB =$22^{\circ}$.
所以∠ACB =$44^{\circ}$.
所以∠DEC =$180^{\circ}$-∠EDC - ∠ACB =
$180^{\circ}-90^{\circ}-44^{\circ}$=$46^{\circ}$.
因为△OBC 为等腰三角形，
所以∠CBO = ∠BCF =$22^{\circ}$.
所以∠BOE = ∠DEC - ∠CBO =$46^{\circ}$-
$22^{\circ}$=$24^{\circ}$.
总结 当把等腰三角形的性质和判定结
合起来解决问题时，往往在已知条件中给出
一个等腰三角形，而要解决的线段相等问题
却和另一个等腰三角形有关，需要将要证明
相等的线段放在同一个三角形中，然后利用
等腰三角形的判定方法来解决问题.
AC = BC，F 为 AB 的中点，边 AC 的垂直
平分线分别交 AC，CF，CB 于点 D，O，
E，连接 OA，OB.
(1) 求证：△OBC 为等腰三角形.
(2) 若∠ACF =$22^{\circ}$，求∠BOE 的度数.
证明 (1) 因为 DE 为线段 AC 的垂直
平分线，
所以 OC = OA.
因为 AC = BC，F 为 AB 的中点，
所以 CF 为线段 AB 的垂直平分线.
所以 OB = OA.
所以 OB = OC.
所以△OBC 为等腰三角形.
解 (2) 因为 AC = BC，F 为 AB 的中点，
所以 CF 为∠ACB 的平分线.
所以∠ACF = ∠BCF =$\frac{1}{2}$∠ACB =$22^{\circ}$.
所以∠ACB =$44^{\circ}$.
所以∠DEC =$180^{\circ}$-∠EDC - ∠ACB =
$180^{\circ}-90^{\circ}-44^{\circ}$=$46^{\circ}$.
因为△OBC 为等腰三角形，
所以∠CBO = ∠BCF =$22^{\circ}$.
所以∠BOE = ∠DEC - ∠CBO =$46^{\circ}$-
$22^{\circ}$=$24^{\circ}$.
总结 当把等腰三角形的性质和判定结
合起来解决问题时，往往在已知条件中给出
一个等腰三角形，而要解决的线段相等问题
却和另一个等腰三角形有关，需要将要证明
相等的线段放在同一个三角形中，然后利用
等腰三角形的判定方法来解决问题.
答案：(1) 证明：
∵ DE为AC的垂直平分线，
∴ OA=OC.
∵ AC=BC，F为AB中点，
∴ CF垂直平分AB，
∴ OB=OA.
∴ OB=OC，
∴ △OBC为等腰三角形.
(2) 解：
∵ AC=BC，F为AB中点，
∴ CF平分∠ACB，
∴ ∠BCF=∠ACF=22°，∠ACB=44°.
∵ DE垂直AC，
∴ ∠EDC=90°，
在△EDC中，∠DEC=180°-∠EDC-∠ACB=180°-90°-44°=46°.
∵ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠BCF=22°，
∴ ∠BOE=∠DEC-∠OBC=46°-22°=24°.
∵ DE为AC的垂直平分线，
∴ OA=OC.
∵ AC=BC，F为AB中点，
∴ CF垂直平分AB，
∴ OB=OA.
∴ OB=OC，
∴ △OBC为等腰三角形.
(2) 解：
∵ AC=BC，F为AB中点，
∴ CF平分∠ACB，
∴ ∠BCF=∠ACF=22°，∠ACB=44°.
∵ DE垂直AC，
∴ ∠EDC=90°，
在△EDC中，∠DEC=180°-∠EDC-∠ACB=180°-90°-44°=46°.
∵ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠BCF=22°，
∴ ∠BOE=∠DEC-∠OBC=46°-22°=24°.
跟踪练习2 如图 15.3-10，在△ABC
中，∠B = ∠C，AD 是∠BAC 的平分线，
下列结论错误的是().
A.AB = AC
B.AD⊥BC
C.BD = CD
D.AD = BC
中，∠B = ∠C，AD 是∠BAC 的平分线，
下列结论错误的是().
A.AB = AC
B.AD⊥BC
C.BD = CD
D.AD = BC
答案：D
解析：
在△ABC中，∠B=∠C，根据等角对等边，可得AB=AC，故A正确；AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一，AD⊥BC且BD=CD，故B、C正确；AD与BC不一定相等，故D错误。
1. 在△ABC 中，已知下列两个内角的
度数，则能判定△ABC 为等腰三角形的是
().
A.∠A =$40^{\circ}$，∠B =$60^{\circ}$
B.∠A =$40^{\circ}$，∠B =$80^{\circ}$
C.∠B =$30^{\circ}$，∠C =$70^{\circ}$
D.∠A =$20^{\circ}$，∠C =$80^{\circ}$
度数，则能判定△ABC 为等腰三角形的是
().
A.∠A =$40^{\circ}$，∠B =$60^{\circ}$
B.∠A =$40^{\circ}$，∠B =$80^{\circ}$
C.∠B =$30^{\circ}$，∠C =$70^{\circ}$
D.∠A =$20^{\circ}$，∠C =$80^{\circ}$
答案：D
解析：
根据三角形内角和为180°，分别计算各选项第三个角的度数：
选项A：∠C=180°-40°-60°=80°，三个角分别为40°、60°、80°，无相等角，不是等腰三角形。
选项B：∠C=180°-40°-80°=60°，三个角分别为40°、80°、60°，无相等角，不是等腰三角形。
选项C：∠A=180°-30°-70°=80°，三个角分别为80°、30°、70°，无相等角，不是等腰三角形。
选项D：∠B=180°-20°-80°=80°，∠B=∠C=80°，有两个角相等，是等腰三角形。
选项A：∠C=180°-40°-60°=80°，三个角分别为40°、60°、80°，无相等角，不是等腰三角形。
选项B：∠C=180°-40°-80°=60°，三个角分别为40°、80°、60°，无相等角，不是等腰三角形。
选项C：∠A=180°-30°-70°=80°，三个角分别为80°、30°、70°，无相等角，不是等腰三角形。
选项D：∠B=180°-20°-80°=80°，∠B=∠C=80°，有两个角相等，是等腰三角形。
2. 如图，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB，
BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，EF//
BC，则图中的等腰三角形的个数是().
(第 2 题)
A.5
B.4
C.3
D.2
BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，EF//
BC，则图中的等腰三角形的个数是().
(第 2 题)A.5
B.4
C.3
D.2
答案：A
解析：
∵∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形（1）。
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB。
∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC=∠ABO，∠FOC=∠OCB=∠ACO，∴EO=EB，FO=FC，故△EOB（2）、△FOC（3）是等腰三角形。
∵EF//BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形（4）。
∵∠OBC=∠OCB，∴△OBC是等腰三角形（5）。
综上，共有5个等腰三角形。
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB。
∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC=∠ABO，∠FOC=∠OCB=∠ACO，∴EO=EB，FO=FC，故△EOB（2）、△FOC（3）是等腰三角形。
∵EF//BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形（4）。
∵∠OBC=∠OCB，∴△OBC是等腰三角形（5）。
综上，共有5个等腰三角形。
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC =
$90^{\circ}$，AD⊥BC，垂足为 D，CE 平分
∠ACB，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F. 若
AB = 10，BE = 6，则 AF = ().
(第 3 题)
A.$\frac{20}{3}$
B.$\frac{10}{3}$
C.6
D.4
$90^{\circ}$，AD⊥BC，垂足为 D，CE 平分
∠ACB，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F. 若
AB = 10，BE = 6，则 AF = ().
(第 3 题)A.$\frac{20}{3}$
B.$\frac{10}{3}$
C.6
D.4
答案：D
解析：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，CE平分∠ACB。已知AB=10，BE=6，故AE=AB-BE=10-6=4。设∠ACB=2α，则∠ACE=∠BCE=α。在Rt△ABC中，∠B=90°-2α；在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠ACD=90°-2α，故∠DAC=∠B。在△AEC中，∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE=90°-α；在Rt△FDC中，∠DFC=180°-∠FDC-∠BCE=90°-α，又∠AFE=∠DFC，故∠AFE=90°-α。因此∠AEF=∠AFE，△AEF为等腰三角形，AF=AE=4。