4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，D，
E，F 分别是边 BC，AC，AB 上的点，且
BF = CD，BD = CE，∠FDE =$62^{\circ}$，则∠A =
.
(第 4 题)
E，F 分别是边 BC，AC，AB 上的点，且
BF = CD，BD = CE，∠FDE =$62^{\circ}$，则∠A =
.
(第 4 题)答案：56°
解析：
∵AB=AC，∴∠B=∠C。在△BDF和△CED中，BF=CD，∠B=∠C，BD=CE，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BDF=∠CED。∵∠BDF+∠FDE+∠EDC=180°，∠CED+∠EDC+∠C=180°，∴∠C=∠FDE=62°。∴∠B=∠C=62°，∠A=180°-∠B-∠C=180°-62°-62°=56°。
5. 如图，已知 D，E 分别是△ABC 的
边 BA 和 BC 延长线上的点，作∠DAC 的平
分线 AF，且 AF//BC.
（第 5 题）
(1) 求证：△ABC 是等腰三角形.
(2) 作∠ACE 的平分线交 AF 于点 G，
若∠B =$32^{\circ}$，求∠AGC 的度数.
边 BA 和 BC 延长线上的点，作∠DAC 的平
分线 AF，且 AF//BC.
（第 5 题）(1) 求证：△ABC 是等腰三角形.
(2) 作∠ACE 的平分线交 AF 于点 G，
若∠B =$32^{\circ}$，求∠AGC 的度数.
答案：(1)
因为$AF$平分$∠ DAC$，所以$∠ DAF = ∠ FAC$。
因为$AF// BC$，所以$∠ DAF=∠ B$，$∠ FAC = ∠ ACB$。
所以$∠ B=∠ ACB$。
所以$AB = AC$，$△ ABC$是等腰三角形。
(2)
因为$CG$平分$∠ ACE$，所以$∠ ACG=∠ GCE$。
由(1)知$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B = ∠ ACB=32^{\circ}$，所以$∠ ACE=180^{\circ}-∠ ACB = 148^{\circ}$，则$∠ ACG=∠ GCE = 74^{\circ}$。
因为$AF// BC$，所以$∠ FAC=∠ ACB = 32^{\circ}$。
所以$∠AGC = 180^{\circ}-∠ FAC-∠ ACG=180^{\circ}-32^{\circ}-74^{\circ}=74^{\circ}$。
综上，答案为：(1)证明见上述过程；(2)$∠ AGC = 74^{\circ}$。
因为$AF$平分$∠ DAC$，所以$∠ DAF = ∠ FAC$。
因为$AF// BC$，所以$∠ DAF=∠ B$，$∠ FAC = ∠ ACB$。
所以$∠ B=∠ ACB$。
所以$AB = AC$，$△ ABC$是等腰三角形。
(2)
因为$CG$平分$∠ ACE$，所以$∠ ACG=∠ GCE$。
由(1)知$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B = ∠ ACB=32^{\circ}$，所以$∠ ACE=180^{\circ}-∠ ACB = 148^{\circ}$，则$∠ ACG=∠ GCE = 74^{\circ}$。
因为$AF// BC$，所以$∠ FAC=∠ ACB = 32^{\circ}$。
所以$∠AGC = 180^{\circ}-∠ FAC-∠ ACG=180^{\circ}-32^{\circ}-74^{\circ}=74^{\circ}$。
综上，答案为：(1)证明见上述过程；(2)$∠ AGC = 74^{\circ}$。
6. 如图，在长方形 ABCD 中，AD = 5，
将长方形沿 BD 折叠，点 A 落在点 E 处，
DE 与 BC 相交于点 F，且 BF = 3，则 EF 的
长为().
(第 6 题)
A.3
B.2.5
C.2
D.1
将长方形沿 BD 折叠，点 A 落在点 E 处，
DE 与 BC 相交于点 F，且 BF = 3，则 EF 的
长为().
(第 6 题)A.3
B.2.5
C.2
D.1
答案：C
解析：
∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=5，∠A=∠C=90°，AD//BC。
由折叠性质得：△ABD≌△EBD，∴ED=AD=5，∠E=∠A=90°，EB=AB=CD。
∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC，又∠ADB=∠EDB（折叠），∴∠DBC=∠EDB，∴BF=DF=3（等角对等边）。
∵BC=5，BF=3，∴FC=BC-BF=5-3=2。
在△BEF和△DCF中，∠E=∠C=90°，∠BFE=∠DFC（对顶角），EB=CD，∴△BEF≌△DCF（AAS），∴EF=FC=2。
由折叠性质得：△ABD≌△EBD，∴ED=AD=5，∠E=∠A=90°，EB=AB=CD。
∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC，又∠ADB=∠EDB（折叠），∴∠DBC=∠EDB，∴BF=DF=3（等角对等边）。
∵BC=5，BF=3，∴FC=BC-BF=5-3=2。
在△BEF和△DCF中，∠E=∠C=90°，∠BFE=∠DFC（对顶角），EB=CD，∴△BEF≌△DCF（AAS），∴EF=FC=2。
7. 如图，在△ABC 中，AC = 8 cm，
AB = 10 cm，BD 平分∠ABC，CD 平分
∠ACB，过点 D 作平行于 BC 的直线，分别
交 AB，AC 于点 E，F.
（第 7 题）
(1) 求证：△DFC 是等腰三角形.
(2) 求△AEF 的周长.
AB = 10 cm，BD 平分∠ABC，CD 平分
∠ACB，过点 D 作平行于 BC 的直线，分别
交 AB，AC 于点 E，F.
（第 7 题）(1) 求证：△DFC 是等腰三角形.
(2) 求△AEF 的周长.
答案：(1) 证明见上；(2) 18cm。
解析：
(1) 证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD。
∵EF//BC，∴∠FDC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠ACD=∠FDC，∴DF=FC（等角对等边）。
∴△DFC是等腰三角形。
(2) ∵EF//BC，BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠EBD=∠EDB，∴ED=EB。
由(1)知DF=FC。
△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+(ED+DF)+AF=(AE+ED)+(DF+AF)=(AE+EB)+(FC+AF)=AB+AC。
∵AB=10cm，AC=8cm，
∴△AEF的周长=10+8=18cm。
∵EF//BC，∴∠FDC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠ACD=∠FDC，∴DF=FC（等角对等边）。
∴△DFC是等腰三角形。
(2) ∵EF//BC，BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠EBD=∠EDB，∴ED=EB。
由(1)知DF=FC。
△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+(ED+DF)+AF=(AE+ED)+(DF+AF)=(AE+EB)+(FC+AF)=AB+AC。
∵AB=10cm，AC=8cm，
∴△AEF的周长=10+8=18cm。
8. (跨学科融合) 如图，一艘海轮位于
灯塔 P 的南偏东$70^{\circ}$方向的 M 处，它以每小
时 20 n mile 的速度向正北方向航行，4 h 后
到达位于灯塔 P 的北偏东$40^{\circ}$方向的 N 处，
则 N 处与灯塔 P 的距离为n mile.
(第 8 题)
灯塔 P 的南偏东$70^{\circ}$方向的 M 处，它以每小
时 20 n mile 的速度向正北方向航行，4 h 后
到达位于灯塔 P 的北偏东$40^{\circ}$方向的 N 处，
则 N 处与灯塔 P 的距离为n mile.
(第 8 题)答案：80
解析：
由题意，海轮从M到N航行时间为4h，速度20n mile/h，故MN=20×4=80n mile。
M在P南偏东70°，N在P北偏东40°，则∠MPN=180°-70°-40°=70°。
海轮向正北航行，MN为正北方向，故∠PMN=70°（M处北偏西70°）。
在△PMN中，∠PMN=∠MPN=70°，所以PN=MN=80n mile。
M在P南偏东70°，N在P北偏东40°，则∠MPN=180°-70°-40°=70°。
海轮向正北航行，MN为正北方向，故∠PMN=70°（M处北偏西70°）。
在△PMN中，∠PMN=∠MPN=70°，所以PN=MN=80n mile。