活动一:想一想 说一说
一元二次方程$x^{2}-2x - 3 = 0$与二次函数$y = x^{2}-2x - 3$有哪些联系?
一元二次方程$x^{2}-2x - 3 = 0$与二次函数$y = x^{2}-2x - 3$有哪些联系?
答案：解：二次函数y=x²-2x-3与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程x²-2x-3=0的根
活动二:做一做 比一比
请你在图 5 - 6 中画出二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的图像.图像上是否有一些特殊的点与一元二次方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的根之间有某种联系?你有什么发现?
请你在图 5 - 6 中画出二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的图像.图像上是否有一些特殊的点与一元二次方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的根之间有某种联系?你有什么发现?
答案：
解：图像与x轴交点的横坐标
是该一元二次方程的根
解：图像与x轴交点的横坐标
是该一元二次方程的根
活动三:看一看 议一议
1. 观察课本图 5 - 10，直接说出方程$-\frac{1}{2}x^{2}-4x - 6 = 0$、$x^{2}-6x + 9 = 0$和$x^{2}-2x + 3 = 0$的解的情况.写出函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}-4x - 6$、$y = x^{2}-6x + 9$、$y = x^{2}-2x + 3$的图像与$x$轴的公共点的坐标，它们与$x$轴的公共点有几个?它们与方程的根有何关系?
2. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根有何关系?你能由一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根的情况说出二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与$x$轴的位置关系吗?
1. 观察课本图 5 - 10，直接说出方程$-\frac{1}{2}x^{2}-4x - 6 = 0$、$x^{2}-6x + 9 = 0$和$x^{2}-2x + 3 = 0$的解的情况.写出函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}-4x - 6$、$y = x^{2}-6x + 9$、$y = x^{2}-2x + 3$的图像与$x$轴的公共点的坐标，它们与$x$轴的公共点有几个?它们与方程的根有何关系?
2. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根有何关系?你能由一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根的情况说出二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与$x$轴的位置关系吗?
答案：解：$-\frac {1}{2}x²-4x- 6= 0$的解为$x_{1}= -6，$$ x_{2}= -2$
x²-6x+9=0的解为$x_{1} =x_{2}= 3$
x²-2x+3=0无解
$y=-\frac {1}{2}x²- 4x- 6$与x轴的公共点为(-6， 0)、 (-2， 0)
y=x²-6x+9与x轴的公共点为(3 ， 0)
y=x²-2x+3与x轴无公共点
二次函数与x轴有公共点，则公共点的横坐标就是方程的根;
二次函数与x轴无公共点，则方程无解。
解：一般地，二次函数y= ax²+bx+c 的图像与一元二次方程ax²+bx+c=0的根有如下关系：
如果二次函数y= ax²+ bx+ c 的图像与x轴有两个公共点，
那么一元二次方程ax²+ bx+c= 0有两个不相等的实数根；
如果二次函数y= ax²+bx+c 的图像与x轴有且只有一个公共点，
那么一元二次方程ax²+ bx+ c= 0有两个相等的实数根；
如果二次函数y= ax²+ bx + c 的图像与x轴没有公共点，
那么一元二次方程ax²+ bx+c= 0没有实数根
反过来，由一元二次方程ax²+ bx + c = 0的根的情况，
可以知道二次函数y= ax²+ bx + c 的图像与x轴的位置关系。
x²-6x+9=0的解为$x_{1} =x_{2}= 3$
x²-2x+3=0无解
$y=-\frac {1}{2}x²- 4x- 6$与x轴的公共点为(-6， 0)、 (-2， 0)
y=x²-6x+9与x轴的公共点为(3 ， 0)
y=x²-2x+3与x轴无公共点
二次函数与x轴有公共点，则公共点的横坐标就是方程的根;
二次函数与x轴无公共点，则方程无解。
解：一般地，二次函数y= ax²+bx+c 的图像与一元二次方程ax²+bx+c=0的根有如下关系：
如果二次函数y= ax²+ bx+ c 的图像与x轴有两个公共点，
那么一元二次方程ax²+ bx+c= 0有两个不相等的实数根；
如果二次函数y= ax²+bx+c 的图像与x轴有且只有一个公共点，
那么一元二次方程ax²+ bx+ c= 0有两个相等的实数根；
如果二次函数y= ax²+ bx + c 的图像与x轴没有公共点，
那么一元二次方程ax²+ bx+c= 0没有实数根
反过来，由一元二次方程ax²+ bx + c = 0的根的情况，
可以知道二次函数y= ax²+ bx + c 的图像与x轴的位置关系。