1. 若函数$y = kx^{2}-6x + 3$的图像与$x$轴有公共点，则$k$的取值范围是(
A.$k \lt 3$
B.$k \lt 3$且$k \neq 0$
C.$k \leq 3$
D.$k \leq 3$且$k \neq 0$
C
).A.$k \lt 3$
B.$k \lt 3$且$k \neq 0$
C.$k \leq 3$
D.$k \leq 3$且$k \neq 0$
答案：C
2. 已知二次函数$y = -x^{2}+2x + m$的部分图像如图所示，求关于$x$的一元二次方程$-x^{2}+2x + m = 0$的解.
答案：解：∵二次函数的对称轴为直线$x =-\frac {b}{2a}= 1$
又由图像可知点(3，0)是二次函数与x轴的公共点
∴另外一个公共点为(-1，0)
则关于x的一元二次方程 -x²+2x+m=0的解为$x_1=-1，$$x_2=3$
又由图像可知点(3，0)是二次函数与x轴的公共点
∴另外一个公共点为(-1，0)
则关于x的一元二次方程 -x²+2x+m=0的解为$x_1=-1，$$x_2=3$
3. 如图，已知二次函数$y = a(x - 1)^{2}+h$的图像与$x$轴交于点$A(-2,0)$和点$B$，与$y$轴交于点$C(0,4)$.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)点$E$是线段$BC$的中点，连接$AE$并延长与抛物线交于点$D$，求点$D$的坐标.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)点$E$是线段$BC$的中点，连接$AE$并延长与抛物线交于点$D$，求点$D$的坐标.
答案：解：(1) ∵ 二次函数$y=a(x-1)^2+h$的图像与x轴交于点A(-2，0)，
与y轴交于点C(0，4)
∴$\begin{cases}{a(-2-1)^2+h=0}\\{a(0-1)^2+h=4}\end{cases}，$解得$ \begin{cases}{a=-\dfrac 12}\\{h=\dfrac 92}\end{cases}$
∴ 该二次函数的表达式为$y=-\frac {1}{2} (x-1)^2+\frac {9}{2}=- \frac {1}{2} x^2+x+4 $
(2)令y=0，则$- \frac {1}{2} x^2+x+4=0$
解得$x_{1}=-2，$$x_{2}=4$
∴ 点B的坐标为(4，0)
∵ E是BC的中点
∴点E的坐标为(2，2)
设直线AE相应的函数表达式为y=mx+n
则$\begin{cases}{-2m+n=0}\\{2m+n=2}\end{cases}，$ 解得$\begin{cases}{m=\dfrac {1}{2}}\\{n=1}\end{cases}$
∴ 直线AE相应的函数表达式为$y=\frac {1}{2} x+1$
联立方程组$ \begin{cases}{y=\dfrac {1}{2} x+1}\\{y=-\dfrac 12x^2+x+4}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{x=3}\\{y=\dfrac 52}\end{cases}，$或$\begin{cases}{x=-2}\\{y=0}\end{cases}$
∴点D的坐标为(3，$\frac {5}{2} )$
与y轴交于点C(0，4)
∴$\begin{cases}{a(-2-1)^2+h=0}\\{a(0-1)^2+h=4}\end{cases}，$解得$ \begin{cases}{a=-\dfrac 12}\\{h=\dfrac 92}\end{cases}$
∴ 该二次函数的表达式为$y=-\frac {1}{2} (x-1)^2+\frac {9}{2}=- \frac {1}{2} x^2+x+4 $
(2)令y=0，则$- \frac {1}{2} x^2+x+4=0$
解得$x_{1}=-2，$$x_{2}=4$
∴ 点B的坐标为(4，0)
∵ E是BC的中点
∴点E的坐标为(2，2)
设直线AE相应的函数表达式为y=mx+n
则$\begin{cases}{-2m+n=0}\\{2m+n=2}\end{cases}，$ 解得$\begin{cases}{m=\dfrac {1}{2}}\\{n=1}\end{cases}$
∴ 直线AE相应的函数表达式为$y=\frac {1}{2} x+1$
联立方程组$ \begin{cases}{y=\dfrac {1}{2} x+1}\\{y=-\dfrac 12x^2+x+4}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{x=3}\\{y=\dfrac 52}\end{cases}，$或$\begin{cases}{x=-2}\\{y=0}\end{cases}$
∴点D的坐标为(3，$\frac {5}{2} )$