3. 已知点 $C$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点，$AB = 10$，则线段 $AC =$
$1 - 5\sqrt{5}$或$5\sqrt{5} - 5$
.答案：$15-5\sqrt 5$或$5\sqrt 5-5$
4. 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”. 如图，$P$ 为线段 $AB$ 的黄金分割点($AP＞PB$)，如果线段 $AB$ 的长度为 $8\ cm$，那么 $AP$ 的长度是
94cm
(精确到 $0.01\ cm$).答案：4.94cm
5. 如图①，折线段 $AOB$ 将面积为 $S$ 的$\odot O$ 分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为 $S_1$、$S_2$. 若$\frac{S_1}{S}=\frac{S_2}{S_1}=0.618$，则称分成的小扇形为“黄金扇形”. 生活中的折扇(图②)大致是“黄金扇形”，“黄金扇形”的圆心角约为
137.5
$°$(精确到 $0.1°$).答案：137.5
1. 填空：
(1) 若 $M$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点，且 $AB = 1$，则 $AM =$
(2) 若 $M$、$N$ 是线段 $AB$ 上的两个黄金分割点，且 $AB = 1\ cm$，则 $MN =$
(1) 若 $M$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点，且 $AB = 1$，则 $AM =$
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
(保留根号).(2) 若 $M$、$N$ 是线段 $AB$ 上的两个黄金分割点，且 $AB = 1\ cm$，则 $MN =$
$\sqrt{5}-2$
$ cm$(保留根号).答案：$ \frac {\sqrt 5-1}2$或$\frac {3-\sqrt 5}2 $
$\sqrt 5-2$
$\sqrt 5-2$
2. 宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫作黄金矩形. 心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感. 小明在数学活动课中画黄金矩形如图所示，方法归纳如下：
(1) 画正方形 $ABCD$；
(2) 分别取 $AD$、$BC$ 的中点 $M$、$N$，连接 $MN$；
(3) 以点 $N$ 为圆心，$ND$ 长为半径画弧，交 $BC$ 的延长线于点 $E$；
(4) 过点 $E$ 作 $EF \perp AD$，交 $AD$ 的延长线于点 $F$.
请证明矩形 $DCEF$ 为黄金矩形.
(1) 画正方形 $ABCD$；
(2) 分别取 $AD$、$BC$ 的中点 $M$、$N$，连接 $MN$；
(3) 以点 $N$ 为圆心，$ND$ 长为半径画弧，交 $BC$ 的延长线于点 $E$；
(4) 过点 $E$ 作 $EF \perp AD$，交 $AD$ 的延长线于点 $F$.
请证明矩形 $DCEF$ 为黄金矩形.
答案：证明：设正方形ABCD的边长为a
∵BC=a
∴$NC=\frac {1}{2}a$
∴$ND=\sqrt{NC²+CD²}=\frac {\sqrt{5}}{2}a，$$NE= ND=\frac {\sqrt{5}}{2}a$
∴$CE=\frac {\sqrt{5}-1}{2}a$
∴$\frac {CE}{CD}=\frac {\sqrt{5}-1}{2}$
∴矩形DCEF 是黄金矩形
∵BC=a
∴$NC=\frac {1}{2}a$
∴$ND=\sqrt{NC²+CD²}=\frac {\sqrt{5}}{2}a，$$NE= ND=\frac {\sqrt{5}}{2}a$
∴$CE=\frac {\sqrt{5}-1}{2}a$
∴$\frac {CE}{CD}=\frac {\sqrt{5}-1}{2}$
∴矩形DCEF 是黄金矩形