5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$AC = 4$，$P$是$AC$的中点，过点$P$的直线交$AB$于点$Q$，若以$A$、
$P$、$Q$为顶点的三角形与以$A$、$B$、$C$为顶点的三角形相似，求$AQ$的长.
$P$、$Q$为顶点的三角形与以$A$、$B$、$C$为顶点的三角形相似，求$AQ$的长.
答案：解：若△AQP∽△ABC
则有$\frac {AQ}{AB}=\frac {AP}{AC}，$即$\frac {AQ}6=\frac 12$
∴AQ=3
若△APQ∽△ABC
则有$\frac {AP}{AB}=\frac {AQ}{AC}，$即$\frac {2}6=\frac {AQ}4$
∴$AQ=\frac {4}{3}$
综上，AQ 的长为3或$\frac 43$
则有$\frac {AQ}{AB}=\frac {AP}{AC}，$即$\frac {AQ}6=\frac 12$
∴AQ=3
若△APQ∽△ABC
则有$\frac {AP}{AB}=\frac {AQ}{AC}，$即$\frac {2}6=\frac {AQ}4$
∴$AQ=\frac {4}{3}$
综上，AQ 的长为3或$\frac 43$
1. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为$1$，$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的顶点都在格点上.
(1) 判断$\triangle ABC$与$\triangle DEF$是否相似，并说明理由.
(2)$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$、$P_5$、$D$、$F$是$\triangle DEF$边上的$7$个格点，请在这$7$个格点中选取$3$个作为三角形的顶点，使构成的三角形与$\triangle ABC$相似(要求写出$2$个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由).
(1) 判断$\triangle ABC$与$\triangle DEF$是否相似，并说明理由.
(2)$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$、$P_5$、$D$、$F$是$\triangle DEF$边上的$7$个格点，请在这$7$个格点中选取$3$个作为三角形的顶点，使构成的三角形与$\triangle ABC$相似(要求写出$2$个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由).
答案：
解： (1)相似
$AB=2\sqrt{5}，$$AC=\sqrt{5}，$BC=5
$DE= 4\sqrt{2}，$$DF= 2\sqrt{2}，$$EF= 2\sqrt{10}$
∴$\frac {AC}{DF}=\frac {AB}{DE}=\frac {BC}{EF}=\frac {\sqrt{10}}{4} $
∴△ABC∽△DEF
$(2)△{P}_2{P}_5D，$${P}_4{P}_5F$
解： (1)相似
$AB=2\sqrt{5}，$$AC=\sqrt{5}，$BC=5
$DE= 4\sqrt{2}，$$DF= 2\sqrt{2}，$$EF= 2\sqrt{10}$
∴$\frac {AC}{DF}=\frac {AB}{DE}=\frac {BC}{EF}=\frac {\sqrt{10}}{4} $
∴△ABC∽△DEF
$(2)△{P}_2{P}_5D，$${P}_4{P}_5F$
2. 学习本章后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1) “对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形全等”.类似地，可以得到：满足
(2) “满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，可以得到：满足
已知：如图，
求证：$ Rt \triangle ABC \sim Rt \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.
(1) “对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形全等”.类似地，可以得到：满足
一个锐角对应相等
或两直角边对应成比例
，两个直角三角形相似.(2) “满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，可以得到：满足
斜边和一条直角边对应成比例
的两个直角三角形相似.请你结合右图，写出已知，并完成说理过程.已知：如图，
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$.
求证：$ Rt \triangle ABC \sim Rt \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.
答案：一个锐角对应相等
两直角边对应成比例
斜边和一条直角边对应成比例
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}$
证明：设$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=k$
则AB=kA'B'，BC=kB'C'
∵∠C=∠C'=90°
∴AC²= AB²- BC²，A'C'²= A'B'²- B'C'²
∴AC²=k²(A'B'²-B'C'²)= k²A'C'²
∴AC= kA'C'
∴$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {BC}{B'C'}$
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
两直角边对应成比例
斜边和一条直角边对应成比例
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}$
证明：设$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=k$
则AB=kA'B'，BC=kB'C'
∵∠C=∠C'=90°
∴AC²= AB²- BC²，A'C'²= A'B'²- B'C'²
∴AC²=k²(A'B'²-B'C'²)= k²A'C'²
∴AC= kA'C'
∴$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {BC}{B'C'}$
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'