3. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，$AH\perp BC$，垂足为$H$，$AH$交$DE$于点$G$，$AD:BD = 1:2$. 下列结论中，错误的是(
A.$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$
B.$\frac{AG}{AH}=\frac{1}{3}$
C.$\frac{\triangle ADE 的周长}{\triangle ABC 的周长}=\frac{1}{3}$
D. $\frac{\triangle ADE 的面积}{\triangle ABC 的面积}=\frac{1}{3}$
D
).A.$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$
B.$\frac{AG}{AH}=\frac{1}{3}$
C.$\frac{\triangle ADE 的周长}{\triangle ABC 的周长}=\frac{1}{3}$
D. $\frac{\triangle ADE 的面积}{\triangle ABC 的面积}=\frac{1}{3}$
答案：D
4. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$、$E$分别在$AB$、$AC$上，$AB = 10\ cm$，$AC = 8\ cm$，$AD = 4\ cm$，$AE = 5\ cm$. 若点$A$到$BC$的距离为$6\ cm$，试求点$A$到$DE$的距离.
答案：解：∵$\frac {AB}{AE}=\frac {AC}{AD}=2$
又∵∠A=∠A
∴△ABC∽△AED，相似比为2
∵点A到BC边的距离为$6\ \mathrm {cm}$
∴点A到BE边的距离为$3\ \mathrm {cm}$
又∵∠A=∠A
∴△ABC∽△AED，相似比为2
∵点A到BC边的距离为$6\ \mathrm {cm}$
∴点A到BE边的距离为$3\ \mathrm {cm}$
1. 如图，小明右手握直尺，手臂向前伸直保持直尺与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见直尺露出的部分刚好遮住树的主干，这时通过测量眼睛到直尺的距离$AB$、小明到树干的距离$AC$，以及露出的直尺长度$DE$，就可以算得树的高度，这种测量方案主要应用了相似三角形的性质定理：
相似三角形对应高的比等于相似比
(填写定理内容).答案：相似三角形对应高的比等于
相似比
相似比
2. 如图，在$\triangle ABC$中，$P$是边$BC$上的任意一点(点$P$与点$B$、$C$不重合)，$□ AFPE$的顶点$F$、$E$分别在$AB$、$AC$上. 已知$BC = 2$，$S_{\triangle ABC}=1$. 设$BP = x$，$□ AFPE$的面积为$y$.
(1) 求$y$与$x$之间的函数表达式.
(2) 上述函数有最大值或最小值吗？若有，求出当$x$取何值时，$y$的值最大或最小. 最大值或最小值是多少？若没有，请说明理由.
(1) 求$y$与$x$之间的函数表达式.
(2) 上述函数有最大值或最小值吗？若有，求出当$x$取何值时，$y$的值最大或最小. 最大值或最小值是多少？若没有，请说明理由.
答案：解： (1)∵四边形AFPE是平行四边形
∴PF//CA
∴△BFP∽△BAC
∴$\frac {S_{△BFP}}{S_{△ABC}}=(\frac {x}{2})²$
∴$S_{△ABC}=1$
∴$S_{△BFP}=\frac {x²}{4}$
同理：$S_{△PEC}=(\frac {2-x}{2})²$
∴$y=1-\frac {x²}{4}-\frac {4-4x+x²}{4}$
∴$y=-\frac {x²}{2}+x$
(2)上述函数有最大值，最大值为$\frac {1}{2}；$理由如下
$y=-\frac {x²}{2}+x=-\frac {1}{2}(x-1)²+\frac {1}{2}，$$-\frac {1}{2}\lt 0$
∴y有最大值
∴当x=1时，y有最大值，最大值为$\frac {1}{2}$
∴PF//CA
∴△BFP∽△BAC
∴$\frac {S_{△BFP}}{S_{△ABC}}=(\frac {x}{2})²$
∴$S_{△ABC}=1$
∴$S_{△BFP}=\frac {x²}{4}$
同理：$S_{△PEC}=(\frac {2-x}{2})²$
∴$y=1-\frac {x²}{4}-\frac {4-4x+x²}{4}$
∴$y=-\frac {x²}{2}+x$
(2)上述函数有最大值，最大值为$\frac {1}{2}；$理由如下
$y=-\frac {x²}{2}+x=-\frac {1}{2}(x-1)²+\frac {1}{2}，$$-\frac {1}{2}\lt 0$
∴y有最大值
∴当x=1时，y有最大值，最大值为$\frac {1}{2}$