三、解答题（共 5 小题，共 55 分）
16. （10 分）在平面直角坐标系中，直线 $ y = -x $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 90° $ 得到直线 $ l $，直线 $ l $ 与反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象的一个交点为 $ (a,3) $，试确定反比例函数的解析式。
16. （10 分）在平面直角坐标系中，直线 $ y = -x $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 90° $ 得到直线 $ l $，直线 $ l $ 与反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象的一个交点为 $ (a,3) $，试确定反比例函数的解析式。
答案：16. $ y = \frac{9}{x} $.
解析：
解：直线$y = -x$绕点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$，设旋转后直线$l$上一点$(x,y)$，其对应原直线上点为$(x',y')$，根据旋转性质可得$x = y'$，$y = -x'$，原直线$y'=-x'$，则$x=-y$，即$y = x$，所以直线$l$的解析式为$y = x$。
因为直线$l$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的交点为$(a,3)$，将$(a,3)$代入$y = x$，得$a = 3$，所以交点坐标为$(3,3)$。
把$(3,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$3=\dfrac{k}{3}$，解得$k = 9$，故反比例函数的解析式为$y=\dfrac{9}{x}$。
因为直线$l$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的交点为$(a,3)$，将$(a,3)$代入$y = x$，得$a = 3$，所以交点坐标为$(3,3)$。
把$(3,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$3=\dfrac{k}{3}$，解得$k = 9$，故反比例函数的解析式为$y=\dfrac{9}{x}$。
17. （10 分）已知 $ y = y_1 + y_2 $，其中 $ y_1 $ 与 $ x $ 成正比例，$ y_2 $ 与 $ x^2 $ 成反比例，且当 $ x = 1 $ 时，$ y = 5 $；$ x = -1 $ 时，$ y = -1 $。求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式。
答案：17. $ y = 3x + \frac{2}{x^2} $.
解析：
解：设$y_1 = kx$（$k$为常数，$k ≠ 0$），$y_2 = \frac{m}{x^2}$（$m$为常数，$m ≠ 0$），则$y = kx + \frac{m}{x^2}$。
当$x = 1$时，$y = 5$，可得$k + m = 5$；当$x = -1$时，$y = -1$，可得$-k + m = -1$。
联立方程组$\begin{cases}k + m = 5 \\ -k + m = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 3 \\ m = 2\end{cases}$。
所以$y$与$x$的函数解析式为$y = 3x + \frac{2}{x^2}$。
当$x = 1$时，$y = 5$，可得$k + m = 5$；当$x = -1$时，$y = -1$，可得$-k + m = -1$。
联立方程组$\begin{cases}k + m = 5 \\ -k + m = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 3 \\ m = 2\end{cases}$。
所以$y$与$x$的函数解析式为$y = 3x + \frac{2}{x^2}$。
18. （10 分）一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点 $ A(1,4) $，$ B(-4,-6) $。
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若该一次函数的图象与反比例函数 $ y = \dfrac{m}{x} $ 的图象相交于 $ C(x_1,y_1) $，$ D(x_2,y_2) $ 两点，且 $ 3x_1 = -2x_2 $，求 $ m $ 的值。
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若该一次函数的图象与反比例函数 $ y = \dfrac{m}{x} $ 的图象相交于 $ C(x_1,y_1) $，$ D(x_2,y_2) $ 两点，且 $ 3x_1 = -2x_2 $，求 $ m $ 的值。
答案：18. (1) 一次函数解析式 $ y = 2x + 2 $; (2) $ m = 12 $.
解析：
（1）将点$A(1,4)$，$B(-4,-6)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}k + b = 4 \\ -4k + b = -6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2 \\ b = 2\end{cases}$，所以一次函数解析式为$y = 2x + 2$。
（2）联立$\begin{cases}y = 2x + 2 \\ y = \dfrac{m}{x}\end{cases}$，得$2x + 2 = \dfrac{m}{x}$，即$2x^2 + 2x - m = 0$，则$x_1 + x_2 = -1$，$x_1x_2 = -\dfrac{m}{2}$。因为$3x_1 = -2x_2$，所以$x_2 = -\dfrac{3}{2}x_1$，代入$x_1 + x_2 = -1$，得$x_1 - \dfrac{3}{2}x_1 = -1$，解得$x_1 = 2$，则$x_2 = -3$，所以$x_1x_2 = 2×(-3) = -6 = -\dfrac{m}{2}$，解得$m = 12$。
（2）联立$\begin{cases}y = 2x + 2 \\ y = \dfrac{m}{x}\end{cases}$，得$2x + 2 = \dfrac{m}{x}$，即$2x^2 + 2x - m = 0$，则$x_1 + x_2 = -1$，$x_1x_2 = -\dfrac{m}{2}$。因为$3x_1 = -2x_2$，所以$x_2 = -\dfrac{3}{2}x_1$，代入$x_1 + x_2 = -1$，得$x_1 - \dfrac{3}{2}x_1 = -1$，解得$x_1 = 2$，则$x_2 = -3$，所以$x_1x_2 = 2×(-3) = -6 = -\dfrac{m}{2}$，解得$m = 12$。
19. （10 分）已知抛物线 $ y = 4x^2 - 11x - 3 $。
（1）求它的对称轴；
（2）求它与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点坐标。
（1）求它的对称轴；
（2）求它与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点坐标。
答案：19. (1) 直线 $ x = \frac{11}{8} $; (2) 与 $ x $ 轴的交点为 $ (3,0) $, $ ( -\frac{1}{4},0 ) $, 与 $ y $ 轴的交点为 $ (0,-3) $.
解析：
（1）对于抛物线$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}$。在抛物线$y = 4x^2 - 11x - 3$中，$a = 4$，$b = -11$，所以对称轴为直线$x = -\frac{-11}{2×4} = \frac{11}{8}$。
（2）求与$x$轴的交点，令$y = 0$，则$4x^2 - 11x - 3 = 0$。解方程$(4x + 1)(x - 3) = 0$，可得$4x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$，解得$x_1 = -\frac{1}{4}$，$x_2 = 3$，所以与$x$轴的交点为$(3,0)$，$(-\frac{1}{4},0)$。
求与$y$轴的交点，令$x = 0$，则$y = 4×0^2 - 11×0 - 3 = -3$，所以与$y$轴的交点为$(0,-3)$。
（2）求与$x$轴的交点，令$y = 0$，则$4x^2 - 11x - 3 = 0$。解方程$(4x + 1)(x - 3) = 0$，可得$4x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$，解得$x_1 = -\frac{1}{4}$，$x_2 = 3$，所以与$x$轴的交点为$(3,0)$，$(-\frac{1}{4},0)$。
求与$y$轴的交点，令$x = 0$，则$y = 4×0^2 - 11×0 - 3 = -3$，所以与$y$轴的交点为$(0,-3)$。
20. (15 分)定义：若 $ x,y $ 满足 $ x^2 = 4y + t $，$ y^2 = 4x + t $ 且 $ x ≠ y $($ t $ 为常数)，则称点 $ M(x,y) $ 为“和谐点”。
(1)若 $ P(3,m) $ 是“和谐点”，则 $ m = $
(2)若双曲线 $ y = \dfrac{k}{x}(-3 ＜ x ＜ -1) $ 上存在“和谐点”，求 $ k $ 的取值范围为
(1)若 $ P(3,m) $ 是“和谐点”，则 $ m = $
$ -7 $
。(2)若双曲线 $ y = \dfrac{k}{x}(-3 ＜ x ＜ -1) $ 上存在“和谐点”，求 $ k $ 的取值范围为
$ 3 ＜ k ＜ 4 $
。答案：20. (1) $ -7 $; (2) $ 3 ＜ k ＜ 4 $.
解析：
(1) 因为点 $ P(3,m) $ 是“和谐点”，所以有：
$\begin{cases}3^2 = 4m + t \\m^2 = 4 × 3 + t\end{cases}$
即：
$\begin{cases}9 = 4m + t \\m^2 = 12 + t\end{cases}$
两式相减得：$ m^2 - 9 = 12 + t - (4m + t) $，化简得 $ m^2 - 4m - 21 = 0 $，解得 $ m = 7 $ 或 $ m = -7 $。又因为 $ x ≠ y $，当 $ m = 7 $ 时，$ x = 3 $，$ y = 7 $，代入 $ x^2 = 4y + t $ 得 $ t = 9 - 28 = -19 $，代入 $ y^2 = 4x + t $ 得 $ 49 = 12 - 19 = -7 $，不成立，所以 $ m = -7 $。
(2) 设“和谐点”为 $ M(x,y) $，则：
$\begin{cases}x^2 = 4y + t \\y^2 = 4x + t\end{cases}$
两式相减得 $ x^2 - y^2 = 4y - 4x $，即 $ (x - y)(x + y) = -4(x - y) $，因为 $ x ≠ y $，所以 $ x + y = -4 $，即 $ y = -4 - x $。因为点 $ M $ 在双曲线 $ y = \dfrac{k}{x} $ 上，所以 $ -4 - x = \dfrac{k}{x} $，即 $ x^2 + 4x + k = 0 $。因为 $ -3 ＜ x ＜ -1 $，设 $ f(x) = x^2 + 4x + k $，则函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-3, -1) $ 内有零点，且 $ x ≠ y = -4 - x $，即 $ x ≠ -2 $。$ f(-3) = 9 - 12 + k = k - 3 $，$ f(-1) = 1 - 4 + k = k - 3 $，$ f(-2) = 4 - 8 + k = k - 4 $。因为函数开口向上，所以 $ f(-3) ＞ 0 $，$ f(-2) ＜ 0 $，即 $ k - 3 ＞ 0 $ 且 $ k - 4 ＜ 0 $，解得 $ 3 ＜ k ＜ 4 $。
(1) $-7$
(2) $3 ＜ k ＜ 4$
$\begin{cases}3^2 = 4m + t \\m^2 = 4 × 3 + t\end{cases}$
即：
$\begin{cases}9 = 4m + t \\m^2 = 12 + t\end{cases}$
两式相减得：$ m^2 - 9 = 12 + t - (4m + t) $，化简得 $ m^2 - 4m - 21 = 0 $，解得 $ m = 7 $ 或 $ m = -7 $。又因为 $ x ≠ y $，当 $ m = 7 $ 时，$ x = 3 $，$ y = 7 $，代入 $ x^2 = 4y + t $ 得 $ t = 9 - 28 = -19 $，代入 $ y^2 = 4x + t $ 得 $ 49 = 12 - 19 = -7 $，不成立，所以 $ m = -7 $。
(2) 设“和谐点”为 $ M(x,y) $，则：
$\begin{cases}x^2 = 4y + t \\y^2 = 4x + t\end{cases}$
两式相减得 $ x^2 - y^2 = 4y - 4x $，即 $ (x - y)(x + y) = -4(x - y) $，因为 $ x ≠ y $，所以 $ x + y = -4 $，即 $ y = -4 - x $。因为点 $ M $ 在双曲线 $ y = \dfrac{k}{x} $ 上，所以 $ -4 - x = \dfrac{k}{x} $，即 $ x^2 + 4x + k = 0 $。因为 $ -3 ＜ x ＜ -1 $，设 $ f(x) = x^2 + 4x + k $，则函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-3, -1) $ 内有零点，且 $ x ≠ y = -4 - x $，即 $ x ≠ -2 $。$ f(-3) = 9 - 12 + k = k - 3 $，$ f(-1) = 1 - 4 + k = k - 3 $，$ f(-2) = 4 - 8 + k = k - 4 $。因为函数开口向上，所以 $ f(-3) ＞ 0 $，$ f(-2) ＜ 0 $，即 $ k - 3 ＞ 0 $ 且 $ k - 4 ＜ 0 $，解得 $ 3 ＜ k ＜ 4 $。
(1) $-7$
(2) $3 ＜ k ＜ 4$