6. 某学校的校医每天早上会对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，已知完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19 min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11 min。
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(mg/m³)与时间x(min)的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A(m，n)。当教室空气中的药物浓度不高于1 mg/m³时，对人体健康无危害。校医依次对(1)班至(11)班教室(共11间)进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，(1)班学生进入教室是否安全？请通过计算说明。
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(mg/m³)与时间x(min)的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A(m，n)。当教室空气中的药物浓度不高于1 mg/m³时，对人体健康无危害。校医依次对(1)班至(11)班教室(共11间)进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，(1)班学生进入教室是否安全？请通过计算说明。
答案：6. (1) 校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要 $ 3 \mathrm{min} $和 $ 5 \mathrm{min} $；(2) (1)班学生能安全进入教室。因为校医进行药物喷洒时 $ y $与 $ x $的函数解析式为 $ y = 2x $，且过点 $ A(m, n) $，所以 $ n = 2m $。结合图象可知，点 $ A(m, n) $表示恰好喷洒完一间教室，则 $ m = 5, n = 2m = 10 $。药物喷洒完成后 $ y $与 $ x $成反比例函数关系，设药物喷洒完成后 $ y $与 $ x $的函数解析式为 $ y = \dfrac{k}{x} $。因为 $ y = \dfrac{k}{x} $过点 $ (5, 10) $，所以 $ k = 50 $，喷洒完 $ 11 $间教室所需时间为 $ 5 × 11 = 55(\mathrm{min}) $，此时教室的药物浓度为 $ \dfrac{50}{55} = \dfrac{10}{11} ＜ 1 $，则(1)班学生进入教室安全。
解析：
（1）设校医完成一间办公室的药物喷洒要$x\ \mathrm{min}$，完成一间教室的药物喷洒要$y\ \mathrm{min}$。
根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 19 \\ 2x + y = 11\end{cases}$
由$2x + y = 11$，得$y = 11 - 2x$，代入$3x + 2y = 19$，
$3x + 2(11 - 2x) = 19$，$3x + 22 - 4x = 19$，$-x = -3$，$x = 3$。
则$y = 11 - 2×3 = 5$。
答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要$3\ \mathrm{min}$和$5\ \mathrm{min}$。
（2）因为校医进行药物喷洒时$y$与$x$的函数关系式为$y = 2x$，且点$A(m, n)$是喷洒完成的点，由（1）知一间教室喷洒需$5\ \mathrm{min}$，所以$m = 5$，则$n = 2×5 = 10$，即$A(5, 10)$。
设药物喷洒完成后反比例函数关系式为$y = \dfrac{k}{x}$，将$(5, 10)$代入，得$10 = \dfrac{k}{5}$，$k = 50$，所以$y = \dfrac{50}{x}$。
喷洒$11$间教室所需时间为$5×11 = 55\ \mathrm{min}$，此时（1）班教室药物浓度$y = \dfrac{50}{55} = \dfrac{10}{11}\ \mathrm{mg/m}^3$。
因为$\dfrac{10}{11}＜1$，所以（1）班学生进入教室安全。
答：（1）班学生能安全进入教室。
根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 19 \\ 2x + y = 11\end{cases}$
由$2x + y = 11$，得$y = 11 - 2x$，代入$3x + 2y = 19$，
$3x + 2(11 - 2x) = 19$，$3x + 22 - 4x = 19$，$-x = -3$，$x = 3$。
则$y = 11 - 2×3 = 5$。
答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要$3\ \mathrm{min}$和$5\ \mathrm{min}$。
（2）因为校医进行药物喷洒时$y$与$x$的函数关系式为$y = 2x$，且点$A(m, n)$是喷洒完成的点，由（1）知一间教室喷洒需$5\ \mathrm{min}$，所以$m = 5$，则$n = 2×5 = 10$，即$A(5, 10)$。
设药物喷洒完成后反比例函数关系式为$y = \dfrac{k}{x}$，将$(5, 10)$代入，得$10 = \dfrac{k}{5}$，$k = 50$，所以$y = \dfrac{50}{x}$。
喷洒$11$间教室所需时间为$5×11 = 55\ \mathrm{min}$，此时（1）班教室药物浓度$y = \dfrac{50}{55} = \dfrac{10}{11}\ \mathrm{mg/m}^3$。
因为$\dfrac{10}{11}＜1$，所以（1）班学生进入教室安全。
答：（1）班学生能安全进入教室。
自主拓展
如图所示为某游乐场电车轨道的一部分图象，其中AB为线段，BC为反比例函数y=$\frac{k}{x}$的一部分。已知A(10，1)，B(8，2)，C(2，y_C)，过轨道图象上一点分别作x轴、y轴的垂线才能固定轨道，若垂线段的和(用S表示)取最小值时的点称作最佳支撑点。
（1）求直线AB的函数解析式及k值。
（2）求y_C的值。
（3）求轨道图象的最佳支撑点。
如图所示为某游乐场电车轨道的一部分图象，其中AB为线段，BC为反比例函数y=$\frac{k}{x}$的一部分。已知A(10，1)，B(8，2)，C(2，y_C)，过轨道图象上一点分别作x轴、y轴的垂线才能固定轨道，若垂线段的和(用S表示)取最小值时的点称作最佳支撑点。
（1）求直线AB的函数解析式及k值。
（2）求y_C的值。
（3）求轨道图象的最佳支撑点。
答案：(1) $ y = -\dfrac{1}{2}x + 6, k = 16 $； (2) $ y_C = 8 $；(3) $ (4, 4) $。
解析：
（1）设直线AB的解析式为$y=ax+b$，将$A(10,1)$，$B(8,2)$代入得：
$\begin{cases}10a + b = 1 \\8a + b = 2\end{cases}$
解得$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=6$，所以直线AB的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x + 6$。
因为点$B(8,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，所以$2=\dfrac{k}{8}$，解得$k=16$。
（2）因为点$C(2,y_C)$在反比例函数$y=\dfrac{16}{x}$上，所以$y_C=\dfrac{16}{2}=8$。
（3）对于反比例函数$y=\dfrac{16}{x}$（$x＞0$），设点$P(x,\dfrac{16}{x})$，则$S=x+\dfrac{16}{x}$。根据均值定理，$x+\dfrac{16}{x}≥2\sqrt{x·\dfrac{16}{x}}=8$，当且仅当$x=\dfrac{16}{x}$，即$x=4$时取等号，此时$y=\dfrac{16}{4}=4$。
对于直线AB：$y=-\dfrac{1}{2}x + 6$（$8≤ x≤10$），设点$Q(x,-\dfrac{1}{2}x + 6)$，则$S=x + (-\dfrac{1}{2}x + 6)=\dfrac{1}{2}x + 6$，在$8≤ x≤10$上单调递增，当$x=8$时，$S=10$，大于8。
所以最佳支撑点为$(4,4)$。
$\begin{cases}10a + b = 1 \\8a + b = 2\end{cases}$
解得$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=6$，所以直线AB的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x + 6$。
因为点$B(8,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，所以$2=\dfrac{k}{8}$，解得$k=16$。
（2）因为点$C(2,y_C)$在反比例函数$y=\dfrac{16}{x}$上，所以$y_C=\dfrac{16}{2}=8$。
（3）对于反比例函数$y=\dfrac{16}{x}$（$x＞0$），设点$P(x,\dfrac{16}{x})$，则$S=x+\dfrac{16}{x}$。根据均值定理，$x+\dfrac{16}{x}≥2\sqrt{x·\dfrac{16}{x}}=8$，当且仅当$x=\dfrac{16}{x}$，即$x=4$时取等号，此时$y=\dfrac{16}{4}=4$。
对于直线AB：$y=-\dfrac{1}{2}x + 6$（$8≤ x≤10$），设点$Q(x,-\dfrac{1}{2}x + 6)$，则$S=x + (-\dfrac{1}{2}x + 6)=\dfrac{1}{2}x + 6$，在$8≤ x≤10$上单调递增，当$x=8$时，$S=10$，大于8。
所以最佳支撑点为$(4,4)$。