17. (10分)已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像与一次函数 $ y = kx + 4 $ 的图像相交于 $ A(1,m) $、$ B(4,8) $ 两点，并与 $ x $ 轴交于原点 $ O $ 和点 $ C $。
(1)求这两个函数的表达式。
(2)在 $ x $ 轴上方的二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像上是否存在点 $ D $，使得 $ S_{\triangle OCD} = \dfrac{3}{2}S_{\triangle OCB} $？如果存在，请求出所有满足条件的点 $ D $；如果不存在，请说明理由。
(1)求这两个函数的表达式。
(2)在 $ x $ 轴上方的二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像上是否存在点 $ D $，使得 $ S_{\triangle OCD} = \dfrac{3}{2}S_{\triangle OCB} $？如果存在，请求出所有满足条件的点 $ D $；如果不存在，请说明理由。
答案：解：(1)把B(4， 8)代入y= kx+4，得k= 1
所以一次函数是y=x+4
当x=1时，y=1+4=5 ，
所以A(1，5)
把A(1 ，5)、B(4， 8)、O(0 ， 0)代入y=ax²+ bx+c，
得$\begin{cases}{a+b+c=5 }\\{16a+4b+c=8} \\{c=0} \end{cases}$
解得a=-1，b=6，c=0
所以二次函数是y=-x²+ 6x，
(2)因为B(4，8)，$ S_{△OCD}= \frac {3}{2}S_{△OCB}$
所以D点的纵坐标是12
当y=12时，-x²+6x=12，方程无解
所以D点不存在
所以一次函数是y=x+4
当x=1时，y=1+4=5 ，
所以A(1，5)
把A(1 ，5)、B(4， 8)、O(0 ， 0)代入y=ax²+ bx+c，
得$\begin{cases}{a+b+c=5 }\\{16a+4b+c=8} \\{c=0} \end{cases}$
解得a=-1，b=6，c=0
所以二次函数是y=-x²+ 6x，
(2)因为B(4，8)，$ S_{△OCD}= \frac {3}{2}S_{△OCB}$
所以D点的纵坐标是12
当y=12时，-x²+6x=12，方程无解
所以D点不存在
18. (10分)如图，二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像交 $ x $ 轴于点 $ A $、$ B $，交 $ y $ 轴于点 $ C $。且点 $ B $ 的坐标为 $ (1,0) $，若将 $ \triangle BOC $ 绕点 $ O $ 按逆时针方向旋转 $ 90° $，所得 $ \triangle DOE $ 的顶点 $ E $ 恰好与点 $ A $ 重合，且 $ \triangle ACD $ 的面积为3。
(1)求这个二次函数的表达式。
(2)设这个二次函数图像的顶点为 $ M $，请在 $ y $ 轴上找一点 $ P $，使得 $ \triangle PAM $ 的周长最小，并求出点 $ P $ 的坐标。
(3)设这个函数图像的对称轴交 $ x $ 轴于点 $ N $，$ A $、$ M $、$ C $、$ D $、$ N $ 这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并简要说明；若不在，请说明理由。
(1)求这个二次函数的表达式。
(2)设这个二次函数图像的顶点为 $ M $，请在 $ y $ 轴上找一点 $ P $，使得 $ \triangle PAM $ 的周长最小，并求出点 $ P $ 的坐标。
(3)设这个函数图像的对称轴交 $ x $ 轴于点 $ N $，$ A $、$ M $、$ C $、$ D $、$ N $ 这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并简要说明；若不在，请说明理由。
答案：解：(1)OC=OA=c，OD=OB=1，CD=c-1
所以$S_{△ACD}=\frac {1}{2}c(c-1)=3，$
解得c= 3或c= -2(舍去)
所以A(-3，0)、 C(0 ， 3)
把A(-3，0)、B(1 ， 0)代入y=ax²+bx+3，
得$\begin{cases}{9a-3b+3=0 } \ {a+b+3=0} \end{cases}$
解得a=-1，b=-2
所以y=-x²-2x+3
(2)y=-(x+1)²+4
所以M(-1 ， 4)
A关于y轴对称点A'的坐标是(3 ， 0)
由A'(3 ， 0)、M(-1 ， 4)得直线MA' ： y=-x+3
所以P点坐标是(0 ，3)
(3)因为△AMN是直角三角形，
若5点共圆，圆心必在AM的中点
设该点为G ，则坐标是(-2 ， 2)
$GA=\sqrt{1²+2²}=\sqrt{5}$
$GC=\sqrt{2²+1²}=\sqrt{5}，$$ GD=\sqrt{1²+2²}=\sqrt{5}$
所以C、D也在△AMN的外接圆圆G上
所以这5个点在同一一个圆上，圆心坐标是(-2 ， 2)
所以$S_{△ACD}=\frac {1}{2}c(c-1)=3，$
解得c= 3或c= -2(舍去)
所以A(-3，0)、 C(0 ， 3)
把A(-3，0)、B(1 ， 0)代入y=ax²+bx+3，
得$\begin{cases}{9a-3b+3=0 } \ {a+b+3=0} \end{cases}$
解得a=-1，b=-2
所以y=-x²-2x+3
(2)y=-(x+1)²+4
所以M(-1 ， 4)
A关于y轴对称点A'的坐标是(3 ， 0)
由A'(3 ， 0)、M(-1 ， 4)得直线MA' ： y=-x+3
所以P点坐标是(0 ，3)
(3)因为△AMN是直角三角形，
若5点共圆，圆心必在AM的中点
设该点为G ，则坐标是(-2 ， 2)
$GA=\sqrt{1²+2²}=\sqrt{5}$
$GC=\sqrt{2²+1²}=\sqrt{5}，$$ GD=\sqrt{1²+2²}=\sqrt{5}$
所以C、D也在△AMN的外接圆圆G上
所以这5个点在同一一个圆上，圆心坐标是(-2 ， 2)