26. (10 分)勾股定理是数学史上非常重要的一个定理。早在 2000 多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法。在欧几里得编纂的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请仔细阅读并解答问题。
如图，分别以 $Rt\triangle ABC$ 的三边为边长，向外作正方形 $ABDE$、$BCFG$、$ACHI$。
(1)连接 $BI$、$CE$，求证：$\triangle ABI \cong \triangle AEC$。
(2)过点 $B$ 作 $AC$ 的垂线，交 $AC$ 于点 $M$，交 $IH$ 于点 $N$。
① 试说明四边形 $AMNI$ 与正方形 $ABDE$ 的面积相等；
② 请直接写出图中与正方形 $BCFG$ 面积相等的四边形。
(3)由第(2)题可得：正方形 $ABDE$ 的面积＋正方形 $BCFG$ 的面积＝
如图，分别以 $Rt\triangle ABC$ 的三边为边长，向外作正方形 $ABDE$、$BCFG$、$ACHI$。
(1)连接 $BI$、$CE$，求证：$\triangle ABI \cong \triangle AEC$。
(2)过点 $B$ 作 $AC$ 的垂线，交 $AC$ 于点 $M$，交 $IH$ 于点 $N$。
① 试说明四边形 $AMNI$ 与正方形 $ABDE$ 的面积相等；
② 请直接写出图中与正方形 $BCFG$ 面积相等的四边形。
(3)由第(2)题可得：正方形 $ABDE$ 的面积＋正方形 $BCFG$ 的面积＝
正方形AIHC
的面积，即在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AB^{2} + BC^{2} =$$AC^{2}$
。答案：证明：(1)因为四边形ABDE、ACHI为正方形
所以AB=AE ， AI=AC，∠CAI=∠EAB=90°
所以∠BAI=∠EAC
在△ABI 和△AEC中，
$\begin{cases}{AB=AE }\\{∠BAI=∠EAC}\\{AI=AC} \end{cases}$
所以$△ABI≌△AEC(\mathrm {SAS})$
(2)①因为$S_{四边形}AMNI= AI ×AM，$
$S_{△ABI}=\frac {1}{2}×AI×AM$
所以$S_{四边形}AMNI = 2S_{△ABI} ，$
同理， S 正方形$BCFG= 2S_{△AEC}$
因为△ABI≌△AEC，
所以$S_{△ABI}= S_{△AEC}$
所以$S_{四边形}AMNI = S $正方形BCFG
②四边形MCHN
AC²
正方形ACHI
所以AB=AE ， AI=AC，∠CAI=∠EAB=90°
所以∠BAI=∠EAC
在△ABI 和△AEC中，
$\begin{cases}{AB=AE }\\{∠BAI=∠EAC}\\{AI=AC} \end{cases}$
所以$△ABI≌△AEC(\mathrm {SAS})$
(2)①因为$S_{四边形}AMNI= AI ×AM，$
$S_{△ABI}=\frac {1}{2}×AI×AM$
所以$S_{四边形}AMNI = 2S_{△ABI} ，$
同理， S 正方形$BCFG= 2S_{△AEC}$
因为△ABI≌△AEC，
所以$S_{△ABI}= S_{△AEC}$
所以$S_{四边形}AMNI = S $正方形BCFG
②四边形MCHN
AC²
正方形ACHI
27. (10 分)已知抛物线 $C_{1}$ 与 $x$ 轴的一个交点为$(-4,0)$，对称轴所在直线相应的函数表达式为 $x = -1.5$，且该抛物线过点$(-1,6)$。
(1)求抛物线 $C_{1}$ 相应的函数表达式。
(2)求出与抛物线 $C_{1}$ 关于原点对称的抛物线 $C_{2}$ 相应的函数表达式，并在 $C_{1}$ 所在的平面直角坐标系中画出 $C_{2}$ 的图像。
(3)在(2)的条件下，抛物线 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 相交于 $A$、$B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧)。若点 $P$ 在抛物线 $C_{1}$ 上，且位于点 $A$ 和点 $B$ 之间；点 $Q$ 在抛物线 $C_{2}$ 上，也位于点 $A$ 和点 $B$ 之间。当 $PQ // y$ 轴时，求 $PQ$ 的最大值。
(1)求抛物线 $C_{1}$ 相应的函数表达式。
(2)求出与抛物线 $C_{1}$ 关于原点对称的抛物线 $C_{2}$ 相应的函数表达式，并在 $C_{1}$ 所在的平面直角坐标系中画出 $C_{2}$ 的图像。
(3)在(2)的条件下，抛物线 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 相交于 $A$、$B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧)。若点 $P$ 在抛物线 $C_{1}$ 上，且位于点 $A$ 和点 $B$ 之间；点 $Q$ 在抛物线 $C_{2}$ 上，也位于点 $A$ 和点 $B$ 之间。当 $PQ // y$ 轴时，求 $PQ$ 的最大值。
答案：
解： (1)设抛物线${C}_1$的函数表达式为y= ax²+ bx +c
由题意得，
$\begin{cases}{0=16a-4b+c}\\{-\dfrac {b}{2a}=-1.5}\\{6=a-b+c} \end{cases}$
解得a=-1，b=-3，c=4
所以抛物线${C}_1$的函数表达式为y= -x²- 3x +4
(2)抛物线${C}_2$的图像如图所示，
设抛物线${C}_2$的函数表达式为y= dx²+ex+f ，
则抛物线${C}_2$与x轴交点为(4 ， 0) ，对称轴所在直线为x = 1.5，
且抛物线过点(1.-6)。
由题意得,
$\begin{cases}{16d+4e+f=0 }\\{-\dfrac {c}{2d}=1.5}\\{d+e+f=-6} \end{cases}$
所以d=1，e=-3，f=-4
抛物线${C}_2$的函数表达式为y=x²-3x-4
(3)由题意得，-x²-3x+4=x²-3x-4，
解得，x=±2
所以点A横坐标为-2 ，点B横坐标为2
设点P的横坐标为t ，则点P坐标为(t，-t² - 3t +4)
因为PQ//y轴,点P的横坐标为t ，
所以点Q的横坐标也为t
因为点Q在抛物线${C}_2$上,
所以点$Q_{坐标} $为(t，t²- 3t- 4)
所以PQ=(-t²-3t+4)- (t²- 3t-4)=-2t²+ 8
因为点P位于点A和点B之间,
解： (1)设抛物线${C}_1$的函数表达式为y= ax²+ bx +c
由题意得，
$\begin{cases}{0=16a-4b+c}\\{-\dfrac {b}{2a}=-1.5}\\{6=a-b+c} \end{cases}$
解得a=-1，b=-3，c=4
所以抛物线${C}_1$的函数表达式为y= -x²- 3x +4
(2)抛物线${C}_2$的图像如图所示，
设抛物线${C}_2$的函数表达式为y= dx²+ex+f ，
则抛物线${C}_2$与x轴交点为(4 ， 0) ，对称轴所在直线为x = 1.5，
且抛物线过点(1.-6)。
由题意得,
$\begin{cases}{16d+4e+f=0 }\\{-\dfrac {c}{2d}=1.5}\\{d+e+f=-6} \end{cases}$
所以d=1，e=-3，f=-4
抛物线${C}_2$的函数表达式为y=x²-3x-4
(3)由题意得，-x²-3x+4=x²-3x-4，
解得，x=±2
所以点A横坐标为-2 ，点B横坐标为2
设点P的横坐标为t ，则点P坐标为(t，-t² - 3t +4)
因为PQ//y轴,点P的横坐标为t ，
所以点Q的横坐标也为t
因为点Q在抛物线${C}_2$上,
所以点$Q_{坐标} $为(t，t²- 3t- 4)
所以PQ=(-t²-3t+4)- (t²- 3t-4)=-2t²+ 8
因为点P位于点A和点B之间,