例 1 (1) 当 $ k $
(2) 已知二次函数 $ y = ( k + 1 ) x ^ { 2 } + 2 k x + k - 2 $，当 $ k $
(3) 从第(1)、(2)小题中，你能得到什么启示？
＞ -2 且 k≠ -1
时，关于 $ x $ 的方程 $ ( k + 1 ) x ^ { 2 } + 2 k x + k - 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根.(2) 已知二次函数 $ y = ( k + 1 ) x ^ { 2 } + 2 k x + k - 2 $，当 $ k $
＞ -2 且 k≠ -1
时，它的图像与 $ x $ 轴有两个公共点.(3) 从第(1)、(2)小题中，你能得到什么启示？
答案：＞-2且k≠-1
＞-2且k≠-1
解： (3)当二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根时，
二次函数的图像与x轴有两个公共点。
＞-2且k≠-1
解： (3)当二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根时，
二次函数的图像与x轴有两个公共点。
例 2 已知二次函数 $ y = - x ^ { 2 } + ( m - 2 ) x + m + 1 $.
(1) 求证：不论 $ m $ 取何值，这个二次函数的图像必与 $ x $ 轴有两个公共点.
(2) 当 $ m $ 为何值时，这个二次函数的图像与 $ y $ 轴的交点在 $ y $ 轴的负半轴上？
(3) 当 $ m $ 为何值时，这个二次函数的图像的对称轴是 $ y $ 轴？
(1) 求证：不论 $ m $ 取何值，这个二次函数的图像必与 $ x $ 轴有两个公共点.
(2) 当 $ m $ 为何值时，这个二次函数的图像与 $ y $ 轴的交点在 $ y $ 轴的负半轴上？
(3) 当 $ m $ 为何值时，这个二次函数的图像的对称轴是 $ y $ 轴？
答案：解：(1)令y=0 ，得-x²+(m-2)x+ m+1 =0
因为$b²-4ac=(m-2)²+ 4(m+ 1)= m²+ 8\gt 0$
所以一元二次方程有两个不相等的实数根
所以这个二次函数的图像必与x轴有两个公共点
(2)令x=0，得y=m+1
所以这个二次函数与y轴的交点为(0 ， m+1)
由题意得，$m+1\lt 0$
解得，$ m\lt -1$
所以当$m\lt -1$时，二次函数的图像与y轴的交点在y轴的负半轴上
(3)由题意得，$\frac {-(m-2)}{-2}=0$
解得，m=2
所以当m = 2时，这个二次函数的图像的对称轴是y轴
因为$b²-4ac=(m-2)²+ 4(m+ 1)= m²+ 8\gt 0$
所以一元二次方程有两个不相等的实数根
所以这个二次函数的图像必与x轴有两个公共点
(2)令x=0，得y=m+1
所以这个二次函数与y轴的交点为(0 ， m+1)
由题意得，$m+1\lt 0$
解得，$ m\lt -1$
所以当$m\lt -1$时，二次函数的图像与y轴的交点在y轴的负半轴上
(3)由题意得，$\frac {-(m-2)}{-2}=0$
解得，m=2
所以当m = 2时，这个二次函数的图像的对称轴是y轴
1. 二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 4 x + 3 $ 的图像与 $ x $ 轴的交点坐标为(
A.$ ( 1, 0 ) $，$ ( 3, 0 ) $
B.$ ( - 1, 0 ) $，$ ( - 3, 0 ) $
C.$ ( 1, 0 ) $，$ ( - 3, 0 ) $
D.$ ( - 1, 0 ) $，$ ( 3, 0 ) $
A
)A.$ ( 1, 0 ) $，$ ( 3, 0 ) $
B.$ ( - 1, 0 ) $，$ ( - 3, 0 ) $
C.$ ( 1, 0 ) $，$ ( - 3, 0 ) $
D.$ ( - 1, 0 ) $，$ ( 3, 0 ) $
答案：A
2. 下列二次函数中，图像与 $ x $ 轴没有公共点的是(
A.$ y = x ^ { 2 } + 2 x + 1 $
B.$ y = x ^ { 2 } + 2 x - 3 $
C.$ y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 $
D.$ y = x ^ { 2 } + 2 x + 3 $
D
)A.$ y = x ^ { 2 } + 2 x + 1 $
B.$ y = x ^ { 2 } + 2 x - 3 $
C.$ y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 $
D.$ y = x ^ { 2 } + 2 x + 3 $
答案：D
3. 二次函数 $ y = 3 x ^ { 2 } - 2 x - 5 $ 的图像与 $ y $ 轴的交点坐标为
(0, -5)
，与 $ x $ 轴的交点坐标为(-1,0)与$(\frac {5}{3},0)$
.答案：(0，-5)
(-1，0)和$(\frac {5}{3}，$0)
(-1，0)和$(\frac {5}{3}，$0)