7. 若不论自变量 $ x $ 取何值，二次函数 $ y = 2x^{2} - 6x + m $ 的值总是正数，求实数 $ m $ 的取值范围.
答案： 解：$y=2x²- 6x+m=2(x-\frac {3}{2})²+m-\frac {9}{2}$
因为不论x取什么实数，二次函数y= 2x²-6x+m的值总是正数
所以二次函数y=2x²-6x+m的最小值为正数，
即$m-\frac {9}{2}\gt 0$
所以m的取值范围为$m \gt \frac {9}{2}$
因为不论x取什么实数，二次函数y= 2x²-6x+m的值总是正数
所以二次函数y=2x²-6x+m的最小值为正数，
即$m-\frac {9}{2}\gt 0$
所以m的取值范围为$m \gt \frac {9}{2}$
8. 某企业接到一批生产粽子的任务，要求在 15 天内完成，约定粽子的出厂价为每只 6 元. 为按时完成任务，该企业招收了新工人. 设新工人李明第 $ x $ 天生产的粽子数量为 $ y $ 只，$ y $ 与 $ x $ 满足关系式：$ y = \begin{cases} 54x(0 \leqslant x \leqslant 5), \\ 30x + 120(5 ＜ x \leqslant 15). \end{cases} $
(1)李明第几天生产的粽子数量为 420 只？
(2)设第 $ x $ 天生产粽子的成本是每只 $ p $ 元，且 $ p $ 与 $ x $ 之间的关系可用图中的函数图像来刻画. 若李明第 $ x $ 天创造的利润为 $ w $ 元，求 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元(利润 $ =$ 出厂价 $ -$ 成本).
(1)李明第几天生产的粽子数量为 420 只？
(2)设第 $ x $ 天生产粽子的成本是每只 $ p $ 元，且 $ p $ 与 $ x $ 之间的关系可用图中的函数图像来刻画. 若李明第 $ x $ 天创造的利润为 $ w $ 元，求 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元(利润 $ =$ 出厂价 $ -$ 成本).
答案： 解：(1)若0≤x≤5，则54x= 420，
得x≈7.7 ，不在取值范围内，舍去
若5< x≤15 ，则30x+ 120= 420
得x= 10 ，在取值范围内
所以李明第10天生产的粽子数量为420只
(2)①当0≤x≤5时，w= (6- 4.1)×54x = 102.6x
当x= 5时， w有最大值513
当5< x≤9时，w=(6- 4.1)(30x + 120)= 57x + 228
当x= 9时， w有最大值741
当9< x≤15时， w=(6- 4.7)(30x+120)= -3x²+72x+336
= -3(x-12)²+ 768
当x= 12时， w有最大值768
第12天利润最大，最大利润是768元
得x≈7.7 ，不在取值范围内，舍去
若5< x≤15 ，则30x+ 120= 420
得x= 10 ，在取值范围内
所以李明第10天生产的粽子数量为420只
(2)①当0≤x≤5时，w= (6- 4.1)×54x = 102.6x
当x= 5时， w有最大值513
当5< x≤9时，w=(6- 4.1)(30x + 120)= 57x + 228
当x= 9时， w有最大值741
当9< x≤15时， w=(6- 4.7)(30x+120)= -3x²+72x+336
= -3(x-12)²+ 768
当x= 12时， w有最大值768
第12天利润最大，最大利润是768元