三、解答题
4. 已知直角三角形的两条直角边的和为 $8$，当两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积取得最大值？最大值是多少？
4. 已知直角三角形的两条直角边的和为 $8$，当两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积取得最大值？最大值是多少？
答案： 解：设一条直角边为x ，三角形面积为y
$ y=\frac {1}{2}x(8-x)=-\frac {1}{2}x²+4x=-\frac {1}{2}(x-4)²+8$
当x=4时， y取最大值8 ，另一边8-x=4
所以当两条直角边都是4时，三角形面积最大，最大值是8
$ y=\frac {1}{2}x(8-x)=-\frac {1}{2}x²+4x=-\frac {1}{2}(x-4)²+8$
当x=4时， y取最大值8 ，另一边8-x=4
所以当两条直角边都是4时，三角形面积最大，最大值是8
5. 如图，在一面靠墙的空地上，用长为 $24$ m 的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 $AB$ 为 $x$(m)，面积为 $S$(m²).
(1)求 $S$ 与 $x$ 之间的函数表达式及自变量 $x$ 的取值范围；
(2)若从设计美观的角度出发，墙的最小利用长度为 $4$ m，最大利用长度为 $8$ m，此时，围成的花圃最大面积和最小面积分别是多少？
(1)求 $S$ 与 $x$ 之间的函数表达式及自变量 $x$ 的取值范围；
(2)若从设计美观的角度出发，墙的最小利用长度为 $4$ m，最大利用长度为 $8$ m，此时，围成的花圃最大面积和最小面积分别是多少？
答案：解： (1)由题意得，
S=x(24- 4x)= -4x²+ 24x
因为AB、CD的长度大于0
所以$\begin{cases}{x＞0 }\\{24-4x＞0} \end{cases}$
解得0＜x＜6.
所以S与x之间的函数表达式为S=-4x²+ 24x
自变量x的取值范围为0＜x＜6
(2)由题意得，4≤24- 4x≤8
解得，4≤ x≤5。
因为S= -4x²+24x= -4(x-3)²+36
所以二次函数的对称轴为直线x = 3
因为当4≤x≤5时， S随x的增大而减小
所以当x = 4时，S取最大值，
最大值为-4×(4-3)²+36=32；
当x = 5时， S取最小值，
最小值为-4×(5- 3)²+36= 20
所以最大面积为32m² ，最小面积为20m²
S=x(24- 4x)= -4x²+ 24x
因为AB、CD的长度大于0
所以$\begin{cases}{x＞0 }\\{24-4x＞0} \end{cases}$
解得0＜x＜6.
所以S与x之间的函数表达式为S=-4x²+ 24x
自变量x的取值范围为0＜x＜6
(2)由题意得，4≤24- 4x≤8
解得，4≤ x≤5。
因为S= -4x²+24x= -4(x-3)²+36
所以二次函数的对称轴为直线x = 3
因为当4≤x≤5时， S随x的增大而减小
所以当x = 4时，S取最大值，
最大值为-4×(4-3)²+36=32；
当x = 5时， S取最小值，
最小值为-4×(5- 3)²+36= 20
所以最大面积为32m² ，最小面积为20m²
6. 已知二次函数 $y = ax² - 2x + c$ 的图像与它的对称轴相交于点 $A(1, - 4)$，与 $y$ 轴交于点 $C$，与 $x$ 轴正半轴交于点 $B$.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)设直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $D$，$P$ 是线段 $AD$ 上一动点(点 $P$ 异于点 $A$、$D$)，过点 $P$ 作 $PE // x$ 轴，交直线 $AB$ 于点 $E$，过点 $E$ 作 $EF ⊥ x$ 轴，垂足为 $F$，求当四边形 $OPEF$ 的面积取得最大值时点 $P$ 的坐标，并求出这个最大值.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)设直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $D$，$P$ 是线段 $AD$ 上一动点(点 $P$ 异于点 $A$、$D$)，过点 $P$ 作 $PE // x$ 轴，交直线 $AB$ 于点 $E$，过点 $E$ 作 $EF ⊥ x$ 轴，垂足为 $F$，求当四边形 $OPEF$ 的面积取得最大值时点 $P$ 的坐标，并求出这个最大值.
答案：解： (1)由题意得，
$ \begin{cases}{-\dfrac {-2}{2a}=1 }\\{a-2+c=-4} \end{cases}$
解得a=1，c=-3
所以二次函数的表达式为y=x²- 2x- 3
(2)因为二次函数y=x²-2x-3的图像与y轴交于点C ，
与x轴正半轴交于点B
所以C(0，-3)，B(3，0)
设直线AC的解析式为y= kx+b
将A(1， -4)， C(0， -3)代入，
得$\begin{cases}{-4=k+b }\\{-3=b} \end{cases}$
解得k=-1，b=-3
所以直线AC的解析式为y= -x- 3
同理可得，直线AB的解析式为y= 2x- 6
设点P坐标为(t ， -t-3) ，此时四边形OPEF的面积为S
因为P(t， -t-3) ， PE//x轴
所以点E的纵坐标为-t-3
因为点E在直线AB上
所以-t-3= 2x-6
解得，$ x=\frac {-t+6}{2}$
所以$E(\frac {-t+3}{2}，$-t-3)
所以$S=\frac {1}{2}×(t+3)×(\frac {-t+3}{2}+\frac {-t+3}{2}-t)$
$ = -t²-\frac {3}{2}t+\frac {9}{2}$
$ =-(t+\frac {3}{4})²+\frac {81}{16}$
所以当$t= -\frac {3}{4}$时，四边形OPEF的面积取最大值，
最大值为$\frac {81}{16}.$此时点P的坐标为$(-\frac {3}{4} ，$$-\frac {9}{4})$
$ \begin{cases}{-\dfrac {-2}{2a}=1 }\\{a-2+c=-4} \end{cases}$
解得a=1，c=-3
所以二次函数的表达式为y=x²- 2x- 3
(2)因为二次函数y=x²-2x-3的图像与y轴交于点C ，
与x轴正半轴交于点B
所以C(0，-3)，B(3，0)
设直线AC的解析式为y= kx+b
将A(1， -4)， C(0， -3)代入，
得$\begin{cases}{-4=k+b }\\{-3=b} \end{cases}$
解得k=-1，b=-3
所以直线AC的解析式为y= -x- 3
同理可得，直线AB的解析式为y= 2x- 6
设点P坐标为(t ， -t-3) ，此时四边形OPEF的面积为S
因为P(t， -t-3) ， PE//x轴
所以点E的纵坐标为-t-3
因为点E在直线AB上
所以-t-3= 2x-6
解得，$ x=\frac {-t+6}{2}$
所以$E(\frac {-t+3}{2}，$-t-3)
所以$S=\frac {1}{2}×(t+3)×(\frac {-t+3}{2}+\frac {-t+3}{2}-t)$
$ = -t²-\frac {3}{2}t+\frac {9}{2}$
$ =-(t+\frac {3}{4})²+\frac {81}{16}$
所以当$t= -\frac {3}{4}$时，四边形OPEF的面积取最大值，
最大值为$\frac {81}{16}.$此时点P的坐标为$(-\frac {3}{4} ，$$-\frac {9}{4})$