例 1 图 5.5.3 是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1 m,拱桥的跨度为10 m,桥洞与水面的最大距离是5 m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求该抛物线相应的函数表达式；
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
(1)求该抛物线相应的函数表达式；
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
答案：解：(1)抛物线的顶点坐标为(5，5)，
与y轴交点坐标是(0，1)，
设抛物线的解析式是$y=a(x-5)^2+5，$
把(0，1)代入$y=a(x-5)^2+5，$
得$a=-\frac {4}{25}，$
∴$y=-\frac {4}{25}(x-5)^2+5(0≤x≤10).$
(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4，
∴$4=-\frac {4}{25}(x-5)^2+5，$
∴$\frac {4}{25}(x-5)^2=1，$
∴$x_1=\frac {15}{2}，$$x_2=\frac {5}{2}，$
∴两景观灯间的距离为$\frac {15}{2}-\frac {5}{2}=5($米).
与y轴交点坐标是(0，1)，
设抛物线的解析式是$y=a(x-5)^2+5，$
把(0，1)代入$y=a(x-5)^2+5，$
得$a=-\frac {4}{25}，$
∴$y=-\frac {4}{25}(x-5)^2+5(0≤x≤10).$
(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4，
∴$4=-\frac {4}{25}(x-5)^2+5，$
∴$\frac {4}{25}(x-5)^2=1，$
∴$x_1=\frac {15}{2}，$$x_2=\frac {5}{2}，$
∴两景观灯间的距离为$\frac {15}{2}-\frac {5}{2}=5($米).
例 2 如图 5.5.4,公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一根柱子 OA,柱高 1.25 m,出水口为点 A.水流在各个方向沿形状相同的抛物线下落,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距柱子 OA 水平距离为1 m 处达到距水面最大高度,最大高度为 2.25 m.
(1)如果不考虑其他因素,那么水池的半径至少为多少米才能使喷出的水流不落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5 m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达多少米(精确到0.1 m)？
(1)如果不考虑其他因素,那么水池的半径至少为多少米才能使喷出的水流不落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5 m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达多少米(精确到0.1 m)？
答案：解：(1)以O为原点，顶点为(1，2.25)，
设解析式为$y=a(x-1)^2+2.25$过点(0，1.25)，
解得a=-1，
所以解析式为：$y=-(x-1)^2+2.25，$
令y=0，
则$-(x-1)^2+2.25=0，$
解得x=2.5 或x=-0.5(舍去)，
所以花坛半径至少为2.5m.
(2)根据题意得出：
设$y=-x^2+bx+c，$
把点(0，1.25)，(3.5，0)代入，可得
解得：
∴$y=-{x}^2+\frac {22}{7}\frac {5}{4}=-{(x-\frac {11}{7})}^2+\frac {729}{196}，$
∴水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达$\frac {729}{196}$米.
∵$\frac {729}{196}≈3.7$
∴最大高度为3.7米
设解析式为$y=a(x-1)^2+2.25$过点(0，1.25)，
解得a=-1，
所以解析式为：$y=-(x-1)^2+2.25，$
令y=0，
则$-(x-1)^2+2.25=0，$
解得x=2.5 或x=-0.5(舍去)，
所以花坛半径至少为2.5m.
(2)根据题意得出：
设$y=-x^2+bx+c，$
把点(0，1.25)，(3.5，0)代入，可得
解得：
∴$y=-{x}^2+\frac {22}{7}\frac {5}{4}=-{(x-\frac {11}{7})}^2+\frac {729}{196}，$
∴水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达$\frac {729}{196}$米.
∵$\frac {729}{196}≈3.7$
∴最大高度为3.7米