5. 某施工队要修建一条横截面为抛物线形的公路隧道,其高度为6 m,宽度OM 为12 m.现以 O 为原点,OM 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系(如图).
(1)请写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标.
(2)求这条抛物线相应的函数表达式.
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架 ABCD,使点 A、D 在抛物线上,点 B、C 在地面 OM 上.为了筹备材料,需求出脚手架的三根木杆 AB、AD、DC的长度之和的最大值,请你帮助施工队计算出结果.
(1)请写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标.
(2)求这条抛物线相应的函数表达式.
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架 ABCD,使点 A、D 在抛物线上,点 B、C 在地面 OM 上.为了筹备材料,需求出脚手架的三根木杆 AB、AD、DC的长度之和的最大值,请你帮助施工队计算出结果.
答案：
解：(1)M(12，0)，P(6，6)
(2)∵顶点坐标(6，6)
∴设$y=a(x-6)^2+6(a\neq 0)$
又∵图象经过(0，0)
∴$0=a(0-6)^2+6$
∴$a=-\frac {1}{6}$
∴这条抛物线的函数解析式为$y=-\frac {1}{6}(x-6)^2+6，$
即$y=-\frac {1}{6}x^2+2x.$
(3)设A(x,y)
∴A(x，$-\frac {1}{6}(x-6)^2+6)$
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=DC=-\frac {1}{6}(x-6)^2+6，$
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12-2x，即AD=12-2x，
∴令$L=AB+AD+DC=2[-\frac {1}{6}(x-6)^2+6]+12-2x=-\frac {1}{3}x^2+2x+12$
$=-\frac {1}{3}(x-3)^2+15.$
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米.
解：(1)M(12，0)，P(6，6)
(2)∵顶点坐标(6，6)
∴设$y=a(x-6)^2+6(a\neq 0)$
又∵图象经过(0，0)
∴$0=a(0-6)^2+6$
∴$a=-\frac {1}{6}$
∴这条抛物线的函数解析式为$y=-\frac {1}{6}(x-6)^2+6，$
即$y=-\frac {1}{6}x^2+2x.$
(3)设A(x,y)
∴A(x，$-\frac {1}{6}(x-6)^2+6)$
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=DC=-\frac {1}{6}(x-6)^2+6，$
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12-2x，即AD=12-2x，
∴令$L=AB+AD+DC=2[-\frac {1}{6}(x-6)^2+6]+12-2x=-\frac {1}{3}x^2+2x+12$
$=-\frac {1}{3}(x-3)^2+15.$
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米.
6. 某工厂要求将厂门设计成具有轴对称性的拱形.已知厂门的最大宽度 AB=12 m,最大高度 OC=4 m.现设计了两种方案:方案1是将厂门建成抛物线形;方案2是将厂门建成圆弧形(如图).若工厂的特种运输卡车的高度是3 m,宽度是5.8 m.为确保工厂的特种卡车安全通过厂门,你认为应采用的哪种设计方案？请通过计算说明理由.
答案：
解： A(-6， 0)B(6 ， 0)C(0 ， 4)
方案1：设抛物线为y=ax²+4，
把(6，0)代入，得$a=-\frac {1}{9}$
所以$y=-\frac {1}{9}x² +4$
当y=3时，$-\frac {1}{9}x²+4=3$
解得$x_{1}=-3，$$ x_{2}=3$
所以DE= |$x_{1}- x_{2}$|= 6
方案2 ：半径OD为6 ，
$DE=2\sqrt{6²- 3²}=4\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}m≈6.9m > 6m$
所以方案2更安全
解： A(-6， 0)B(6 ， 0)C(0 ， 4)
方案1：设抛物线为y=ax²+4，
把(6，0)代入，得$a=-\frac {1}{9}$
所以$y=-\frac {1}{9}x² +4$
当y=3时，$-\frac {1}{9}x²+4=3$
解得$x_{1}=-3，$$ x_{2}=3$
所以DE= |$x_{1}- x_{2}$|= 6
方案2 ：半径OD为6 ，
$DE=2\sqrt{6²- 3²}=4\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}m≈6.9m > 6m$
所以方案2更安全