1. 下列各式中，$y$一定是$x$的二次函数的是(
A.$y = \frac{5}{x}$
B.$y = -x^{2} + 3$
C.$y = ax^{2} + 2$
D.$y = \sqrt{100 - x^{2}}$
B
)A.$y = \frac{5}{x}$
B.$y = -x^{2} + 3$
C.$y = ax^{2} + 2$
D.$y = \sqrt{100 - x^{2}}$
答案：B
2. 若二次函数$y = (a - 1)x^{2} + x + a^{2} - 3a + 2$的图像经过原点，则实数$a$的值为(
A.$1$或$2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
D
)A.$1$或$2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案：D
3. 二次函数$y = 5x^{2}$的图像先向左平移$3$个单位长度，再向下平移$4$个单位长度，所得图像相应的函数表达式为(
A.$y = 5(x + 3)^{2} + 4$
B.$y = 5(x + 3)^{2} - 4$
C.$y = 5(x - 3)^{2} + 4$
D.$y = 5(x - 3)^{2} - 4$
B
)A.$y = 5(x + 3)^{2} + 4$
B.$y = 5(x + 3)^{2} - 4$
C.$y = 5(x - 3)^{2} + 4$
D.$y = 5(x - 3)^{2} - 4$
答案：B
4. 二次函数$y = x^{2} - 2mx + 2m^{2} + 3$的图像与$x$轴的公共点有(
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.无法确定
A
)A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.无法确定
答案：A
5. 二次函数$y = x^{2} + 4x - 6$的图像的开口
向上
，对称轴为过点$(-2,-10)$且平行于$y$轴的直线
，顶点坐标为$(-2,-10)$
。答案：5. 向上，过点$(-2,-10)$且平行于$y$轴的直线，$(-2,-10)$.
6. 二次函数$y = -x^{2} - 3x + 10$的图像与$x$轴的两个公共点之间的距离为
7
。答案：7
7. 二次函数图像的顶点为$(1,3)$，且与一次函数$y = x + m$的图像的一个交点为$(3,-1)$。
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数的图像的另一个交点的坐标。
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数的图像的另一个交点的坐标。
答案：解：(1)由二次函数图象的顶点为(1，3)，
可设二次函数解析式为$y=a{(x-1)}^2+3，$
将x=3，y=-1代入可得$-1=a×{(3-1)}^2+3$
解得a=-1，
所以二次函数解析式为：$y=-{(x-1)}^2+3=-{x}^2+2x+2；$
将x=3，y=-1代入一次函数解析式y=x+m可得:
-1=3+m
得到m=-4
所以一次函数解析式为：y=x-4
(2)联立两个解析式可得方程组:
则$x-4=-{x}^2+2x+2$
化简得：(x-3)(x+2)=0
∴${x}_1=3，$${x}_2=-2$
当${x}_1=3$时，${y}_1=3-4=-1$
当${x}_2=-2$时，${y}_1=-2-4=-6$
所以另一个交点坐标为(-2，-6)
可设二次函数解析式为$y=a{(x-1)}^2+3，$
将x=3，y=-1代入可得$-1=a×{(3-1)}^2+3$
解得a=-1，
所以二次函数解析式为：$y=-{(x-1)}^2+3=-{x}^2+2x+2；$
将x=3，y=-1代入一次函数解析式y=x+m可得:
-1=3+m
得到m=-4
所以一次函数解析式为：y=x-4
(2)联立两个解析式可得方程组:
则$x-4=-{x}^2+2x+2$
化简得：(x-3)(x+2)=0
∴${x}_1=3，$${x}_2=-2$
当${x}_1=3$时，${y}_1=3-4=-1$
当${x}_2=-2$时，${y}_1=-2-4=-6$
所以另一个交点坐标为(-2，-6)