例 2 如图 6.4.4,BD、CE 为△ABC 的两条高,它们的交点为 O.
(1) 请写出图中所有与△ABD 相似的三角形;
(2) 求证:$\frac{OD}{AD}=\frac{OC}{AB}$.
(1) 请写出图中所有与△ABD 相似的三角形;
(2) 求证:$\frac{OD}{AD}=\frac{OC}{AB}$.
答案：证明：(1)因为CD⊥AB
所以∠C=90°，
∠ACD=90°-∠DCB
因为∠ACB= 90°
所以∠B=90°-∠DCB
所以∠C=∠ACB，∠ACD=∠B
所以△ACD∽△ABC
(2)有，△BCD∽△BAC，△ACD∽△CBD
解：(1)与△ABD相似的三角形有△ACE、△OBE、 △OCD
(2)因为BD，CE为△ABC的高
所以∠ADB=∠CDO=∠BEO=90°
因为∠BOE=∠COD
所以∠ABD=∠OCD
因为∠ABD=∠OCD，∠ADB=∠CDO
所以△ABD∽△OCD
所以$\frac {OD}{AD}=\frac {OC}{AB}$
所以∠C=90°，
∠ACD=90°-∠DCB
因为∠ACB= 90°
所以∠B=90°-∠DCB
所以∠C=∠ACB，∠ACD=∠B
所以△ACD∽△ABC
(2)有，△BCD∽△BAC，△ACD∽△CBD
解：(1)与△ABD相似的三角形有△ACE、△OBE、 △OCD
(2)因为BD，CE为△ABC的高
所以∠ADB=∠CDO=∠BEO=90°
因为∠BOE=∠COD
所以∠ABD=∠OCD
因为∠ABD=∠OCD，∠ADB=∠CDO
所以△ABD∽△OCD
所以$\frac {OD}{AD}=\frac {OC}{AB}$
1. 如图,BD、CE 相交于点 A,∠C=∠D,则△ABC∽
△AED
.答案：△AED
2. 如图,已知∠1=∠2=∠3,图中的相似三角形有
△ADE∽△ABC∽△ACD,△BCD∽△CDE
.答案：△ADE∽△ABC∽△ACD，
△BCD∽△CDE
△BCD∽△CDE
二、解答题
3. 如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,且∠AED=∠B.
(1) △ADE 与△ACB 相似吗? 请说明理由.
(2) 已知$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$,AD=4,求 AC 的长.
3. 如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,且∠AED=∠B.
(1) △ADE 与△ACB 相似吗? 请说明理由.
(2) 已知$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$,AD=4,求 AC 的长.
答案：解：(1)相似，理由如下：
因为∠AED=∠B，∠A=∠A
所以△ADE∽△ACB
(2)因为△ADE∽△ACB
所以$\frac {AD}{AC}=\frac {DE}{BC}=\frac {2}{3}$
因为AD=4.
所以AC=6.
因为∠AED=∠B，∠A=∠A
所以△ADE∽△ACB
(2)因为△ADE∽△ACB
所以$\frac {AD}{AC}=\frac {DE}{BC}=\frac {2}{3}$
因为AD=4.
所以AC=6.