6. 如图，△ABC 为等边三角形，点 D、E、F 分别在 AB、BC、CA 上，且 AD = BE = CF.
(1)△ADF、△BED、△CFE 相似吗？为什么？
(2)△DEF 与△ABC 相似吗？为什么？
(1)△ADF、△BED、△CFE 相似吗？为什么？
(2)△DEF 与△ABC 相似吗？为什么？
答案：解：(1)因为△ABC为等边三角形
所以AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°
又因为AD=BE=CF
所以AF= EC= BD
所以$\frac {AF}{AD}=\frac {BD}{BE}=\frac {CE}{CF}$
又∠A=∠B=∠C
所以△ADF∽△BED∽△CFE
(2)因为△ADF∽△BED∽△CFE
所以∠ADF=∠BED= ∠CFE，
∠AFD=∠BDE= ∠CEF
所以∠EDF= ∠DFE=∠DEF= 60°
所以△DEF为等边三角形
所以△DEF∽△ABC
所以AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°
又因为AD=BE=CF
所以AF= EC= BD
所以$\frac {AF}{AD}=\frac {BD}{BE}=\frac {CE}{CF}$
又∠A=∠B=∠C
所以△ADF∽△BED∽△CFE
(2)因为△ADF∽△BED∽△CFE
所以∠ADF=∠BED= ∠CFE，
∠AFD=∠BDE= ∠CEF
所以∠EDF= ∠DFE=∠DEF= 60°
所以△DEF为等边三角形
所以△DEF∽△ABC
7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，AE = EB，MN = 1，线段 MN 的两端点分别在 CB、CD 上滑动，并保持 MN 的长不变. 在滑动过程中，以 M、N、C 为顶点的三角形有可能与△AED 相似吗？若可能，求出相似时 CM 的长.
答案：解：可能
因为正方形ABCD的边长为2 ， AE=EB
所以AD=2 ， AE=1
所以$DE=\sqrt{AD²+AE²}=\sqrt{5}$
①当△AED∽△CMN时，
$\frac {AE}{CM}=\frac {DE}{MN}$
因为AE=1，$DE=\sqrt{5}，$MN=1
所以$\frac {1}{MN}=\frac {\sqrt{5}}{1}$
所以$CM=\frac {\sqrt{5}}{5}$
②当△AED∽△CNM时，
$\frac {AD}{CM}=\frac {DE}{MN}$
AD= 2，$DE=\sqrt{5}，$MN = 1
所以$\frac {2}{CM}=\frac {\sqrt{5}}{1}$
所以$CM=\frac {2\sqrt{5}}{5}$
综上所述，相似时CM的长为$\frac {\sqrt{5}}{5}$或$\frac {2\sqrt{5}}{5}$
因为正方形ABCD的边长为2 ， AE=EB
所以AD=2 ， AE=1
所以$DE=\sqrt{AD²+AE²}=\sqrt{5}$
①当△AED∽△CMN时，
$\frac {AE}{CM}=\frac {DE}{MN}$
因为AE=1，$DE=\sqrt{5}，$MN=1
所以$\frac {1}{MN}=\frac {\sqrt{5}}{1}$
所以$CM=\frac {\sqrt{5}}{5}$
②当△AED∽△CNM时，
$\frac {AD}{CM}=\frac {DE}{MN}$
AD= 2，$DE=\sqrt{5}，$MN = 1
所以$\frac {2}{CM}=\frac {\sqrt{5}}{1}$
所以$CM=\frac {2\sqrt{5}}{5}$
综上所述，相似时CM的长为$\frac {\sqrt{5}}{5}$或$\frac {2\sqrt{5}}{5}$