二、解答题
4. 在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$AB = 30$，$BC = 39$，$AC = 18$，$A'B' = 20$，$B'C' = 26$，$A'C' = 12$.$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$相似吗？为什么？
4. 在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$AB = 30$，$BC = 39$，$AC = 18$，$A'B' = 20$，$B'C' = 26$，$A'C' = 12$.$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$相似吗？为什么？
答案：解：相似，理由如下：
因为AB=30，BC=39 ， AC=18，
A'B'=20，B'C'=26，A'C'=12
所以$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {3}{2}$
所以△ABC∽△A'B'C'
因为AB=30，BC=39 ， AC=18，
A'B'=20，B'C'=26，A'C'=12
所以$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {3}{2}$
所以△ABC∽△A'B'C'
5. 依据下列各组条件，判定$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$是否相似，并说明理由.
(1)$\angle A = 45°$，$AB = 12\ \mathrm{cm}$，$AC = 15\ \mathrm{cm}$；$\angle A' = 45°$，$A'B' = 16\ \mathrm{cm}$，$A'C' = 20\ \mathrm{cm}$.
(2)$AB = 12\ \mathrm{cm}$，$BC = 15\ \mathrm{cm}$，$AC = 24\ \mathrm{cm}$；$A'B' = 20\ \mathrm{cm}$，$B'C' = 25\ \mathrm{cm}$，$A'C' = 40\ \mathrm{cm}$.
(1)$\angle A = 45°$，$AB = 12\ \mathrm{cm}$，$AC = 15\ \mathrm{cm}$；$\angle A' = 45°$，$A'B' = 16\ \mathrm{cm}$，$A'C' = 20\ \mathrm{cm}$.
(2)$AB = 12\ \mathrm{cm}$，$BC = 15\ \mathrm{cm}$，$AC = 24\ \mathrm{cm}$；$A'B' = 20\ \mathrm{cm}$，$B'C' = 25\ \mathrm{cm}$，$A'C' = 40\ \mathrm{cm}$.
答案：解：(1)相似，理由如下：
因为∠A=45°，$ AB=12\ \mathrm {cm}，$$AC=15\ \mathrm {cm}，$
∠A'=45°，$ A'B'=16\ \mathrm {cm}，$$A'C'= 20\ \mathrm {cm}$
所以$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {3}{4}，$∠A=∠A'
所以△ABC∽△A'B'C'
(2)相似，理由如下：
因为$AB=12\ \mathrm {cm}，$$BC=15\ \mathrm {cm} ，$$ AC=24\ \mathrm {cm}，$
$A'B'=20\ \mathrm {cm}，$$B'C'=25\ \mathrm {cm}，$$A'C'=40\ \mathrm {cm}$
所以$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {3}{5}$
所以△ABC∽△A'B'C'
因为∠A=45°，$ AB=12\ \mathrm {cm}，$$AC=15\ \mathrm {cm}，$
∠A'=45°，$ A'B'=16\ \mathrm {cm}，$$A'C'= 20\ \mathrm {cm}$
所以$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {3}{4}，$∠A=∠A'
所以△ABC∽△A'B'C'
(2)相似，理由如下：
因为$AB=12\ \mathrm {cm}，$$BC=15\ \mathrm {cm} ，$$ AC=24\ \mathrm {cm}，$
$A'B'=20\ \mathrm {cm}，$$B'C'=25\ \mathrm {cm}，$$A'C'=40\ \mathrm {cm}$
所以$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {3}{5}$
所以△ABC∽△A'B'C'
6. 已知：如图，$D$为$\triangle ABC$内一点，$E$为$\triangle ABC$外一点，且满足$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$.
求证：(1)$\triangle ABD \backsim \triangle ACE$；(2)$\angle ABD = \angle ACE$.
求证：(1)$\triangle ABD \backsim \triangle ACE$；(2)$\angle ABD = \angle ACE$.
答案：证明：(1)因为$\frac {AB}{AD}=\frac {BC}{DE}=\frac {AC}{AE}$
所以△ABC∽△ADE
所以∠BAC=∠DAE
所以∠BAD=∠CAE
因为$\frac {AB}{AD}=\frac {AC}{AE}，$∠BAD= ∠CAE
所以△ABD∽△ACE
(2)因为△ABD∽△ACE
所以∠ABD=∠ACE
所以△ABC∽△ADE
所以∠BAC=∠DAE
所以∠BAD=∠CAE
因为$\frac {AB}{AD}=\frac {AC}{AE}，$∠BAD= ∠CAE
所以△ABD∽△ACE
(2)因为△ABD∽△ACE
所以∠ABD=∠ACE
7. 要制作两个形状相同的三角形框架.其中一个三角形框架的三边长分别是$4\ \mathrm{cm}$、$5\ \mathrm{cm}$、$6\ \mathrm{cm}$，另一个三角形框架的一边长为$2\ \mathrm{cm}$.怎样选料可使这两个三角形相似？选料方法唯一吗？
答案：解：设另外两边长分别为x，y
$①\frac {2}{4}=\frac {x}{5}=\frac {y}{6}$
解得，$x=\frac {5}{2}，$y=3
$②\frac {2}{5}=\frac {x}{4}=\frac {y}{6}$
解得，$x=\frac {8}{5}，$$y=\frac {12}{5}$
$③\frac {2}{6}=\frac {x}{4}=\frac {y}{5}$
解得，$x=\frac {4}{3}，$$y=\frac {5}{3}$
综上所述，另外两边长分别为$\frac {5}{2}，$3或$\frac {8}{5}，$$\frac {12}{5}$或$\frac {4}{3}，$$\frac {5}{3}$
所以选料不唯一
$①\frac {2}{4}=\frac {x}{5}=\frac {y}{6}$
解得，$x=\frac {5}{2}，$y=3
$②\frac {2}{5}=\frac {x}{4}=\frac {y}{6}$
解得，$x=\frac {8}{5}，$$y=\frac {12}{5}$
$③\frac {2}{6}=\frac {x}{4}=\frac {y}{5}$
解得，$x=\frac {4}{3}，$$y=\frac {5}{3}$
综上所述，另外两边长分别为$\frac {5}{2}，$3或$\frac {8}{5}，$$\frac {12}{5}$或$\frac {4}{3}，$$\frac {5}{3}$
所以选料不唯一