8. 如图，在正方形$ABCD$中，$BE = 3CE$，$CF = DF$.
求证：(1)$AE^2 = AF^2 + EF^2$；(2)$\triangle AEF \backsim \triangle AFD$.
求证：(1)$AE^2 = AF^2 + EF^2$；(2)$\triangle AEF \backsim \triangle AFD$.
答案：证明：(1)设正方形边长为4x ，
则CF= DF= 2x，BE= 3x， CE= x
AE²=AB²+BE²=16x²+ 9x²= 25x²
AF²+ EF²= AD²+DF²+FC²+EC²=16x²+4x²+4x²+x²= 25x²
所以AE²= AF²+ EF²
(2)由(1)AE= 5x，$ AF= 2\sqrt{5}x ，$$ EF=\sqrt{5}x$
AD= 4x，DF= 2x
所以$\frac {AE}{AF}=\frac {AF}{AD}=\frac {EF}{DF}=\frac {\sqrt{5}}{2}$
所以△AEF∽△AFD
则CF= DF= 2x，BE= 3x， CE= x
AE²=AB²+BE²=16x²+ 9x²= 25x²
AF²+ EF²= AD²+DF²+FC²+EC²=16x²+4x²+4x²+x²= 25x²
所以AE²= AF²+ EF²
(2)由(1)AE= 5x，$ AF= 2\sqrt{5}x ，$$ EF=\sqrt{5}x$
AD= 4x，DF= 2x
所以$\frac {AE}{AF}=\frac {AF}{AD}=\frac {EF}{DF}=\frac {\sqrt{5}}{2}$
所以△AEF∽△AFD
例1 已知:如图6.4.8,DE//BC,EF//DC.
求证:AD²=AF·AB.
求证:AD²=AF·AB.
答案：证明：因为DE//BC
所以$\frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}$
因为EF//DC
所以$\frac {AF}{AD}=\frac {AE}{AC}$
所以$\frac {AD}{AB}=\frac {AF}{AD}$
所以AD²= AF×AB
所以$\frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}$
因为EF//DC
所以$\frac {AF}{AD}=\frac {AE}{AC}$
所以$\frac {AD}{AB}=\frac {AF}{AD}$
所以AD²= AF×AB
例2 如图6.4.9,已知E是边长为4的正方形ABCD内一点,且DE=3,DF⊥DE,垂足为D.在射线DF上是否存在这样的点M,使得以C、D、M为顶点的三角形与△ADE相似？若存在,请求出满足条件的DM的长;若不存在,请说明理由.
答案：解：存在
因为正方形ABCD的边长为$4\ \mathrm {cm}$
所以$AD=CD=4\ \mathrm {cm}，$∠ADC= 90°
因为DF⊥DE
所以∠EDF=90°
所以∠ADE=∠CDF
①当$\frac {AD}{CD}=\frac {DE}{DM}$时， △ADE∽△CDM
因为$AD=CD=4\ \mathrm {cm}，$$DE=3\ \mathrm {cm}$
所以$\frac {4}{4}=\frac {3}{DM}$
所以$DM= 3\ \mathrm {cm}$
②当$\frac {AD}{DM}=\frac {DE}{CD}$时，△ADE∽△CDM
因为$AD=CD=4\ \mathrm {cm}，$$DE= 3\ \mathrm {cm}$
所以$\frac {4}{DM}=\frac {3}{4}$
所以$DM =\frac {16}{3}\ \mathrm {cm}$
综上所述，存在点M使得以C、D、M为顶点的三角形与△ADE
相似，此时DM的长为$3\ \mathrm {cm}$或$\frac {16}{3}\ \mathrm {cm}.$
因为正方形ABCD的边长为$4\ \mathrm {cm}$
所以$AD=CD=4\ \mathrm {cm}，$∠ADC= 90°
因为DF⊥DE
所以∠EDF=90°
所以∠ADE=∠CDF
①当$\frac {AD}{CD}=\frac {DE}{DM}$时， △ADE∽△CDM
因为$AD=CD=4\ \mathrm {cm}，$$DE=3\ \mathrm {cm}$
所以$\frac {4}{4}=\frac {3}{DM}$
所以$DM= 3\ \mathrm {cm}$
②当$\frac {AD}{DM}=\frac {DE}{CD}$时，△ADE∽△CDM
因为$AD=CD=4\ \mathrm {cm}，$$DE= 3\ \mathrm {cm}$
所以$\frac {4}{DM}=\frac {3}{4}$
所以$DM =\frac {16}{3}\ \mathrm {cm}$
综上所述，存在点M使得以C、D、M为顶点的三角形与△ADE
相似，此时DM的长为$3\ \mathrm {cm}$或$\frac {16}{3}\ \mathrm {cm}.$