1. 已知:如图,DE//AB,$\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OF}$.
求证:EF//BC.
求证:EF//BC.
答案：证明： 因为DE//AB
所以$\frac {OA}{OD}=\frac {OB}{OE}$
因为$\frac {OA}{OD}=\frac {OC}{OF}$
所以$\frac {OB}{OE}=\frac {OC}{OF}$
因为∠BOC=∠EOF
所以△BOC∽△EOF
所以∠OBC=∠OEF
所以EF//BC
所以$\frac {OA}{OD}=\frac {OB}{OE}$
因为$\frac {OA}{OD}=\frac {OC}{OF}$
所以$\frac {OB}{OE}=\frac {OC}{OF}$
因为∠BOC=∠EOF
所以△BOC∽△EOF
所以∠OBC=∠OEF
所以EF//BC
2. 已知:如图,在△ABC中,DE//BC,EF//AB.
答案：证明：因为DE//BC
所以$\frac {AD}{DB}=\frac {AE}{EC}$
因为EF//AB
所以$\frac {BF}{FC}=\frac {AE}{EC}$
所以$\frac {AD}{DB}=\frac {BF}{FC}$
所以$\frac {AD}{DB}=\frac {AE}{EC}$
因为EF//AB
所以$\frac {BF}{FC}=\frac {AE}{EC}$
所以$\frac {AD}{DB}=\frac {BF}{FC}$
3. 如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b.问:BD与a、b之间满足怎样的关系时,△ABC∽△CDB？
答案：解：当△ABC∽△CDB时，有$\frac {AC}{BC}=\frac {BC}{BD}$
因为AC=a，BC=b
所以$\frac {a}{b}=\frac {b}{BD}$
所以$BD=\frac {b²}{a}$
所以当$BD=\frac {b²}{a}$时，△ABC∽△CDB
因为AC=a，BC=b
所以$\frac {a}{b}=\frac {b}{BD}$
所以$BD=\frac {b²}{a}$
所以当$BD=\frac {b²}{a}$时，△ABC∽△CDB
4. 已知:如图,在□ABCD中,E是边AB的延长线上的一点,DE分别交AC、BC于点G、F.
求证:DG是GE、GF的比例中项.
求证:DG是GE、GF的比例中项.
答案：证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC。
1. ∵AB//CD，
∴∠DCA=∠CAE（内错角相等），∠DGC=∠EGA（对顶角相等），
∴△DGC∽△EGA（AA），
∴$\frac{DG}{GE}=\frac{CG}{AG}$。
2. ∵AD//BC，
∴∠ADG=∠CFG（内错角相等），∠AGD=∠CGF（对顶角相等），
∴△AGD∽△CGF（AA），
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{DG}{GF}$，即$\frac{CG}{AG}=\frac{GF}{DG}$。
3. 由1、2得$\frac{DG}{GE}=\frac{GF}{DG}$，
∴$DG^2=GE· GF$，即DG是GE、GF的比例中项。
结论：DG是GE、GF的比例中项。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC。
1. ∵AB//CD，
∴∠DCA=∠CAE（内错角相等），∠DGC=∠EGA（对顶角相等），
∴△DGC∽△EGA（AA），
∴$\frac{DG}{GE}=\frac{CG}{AG}$。
2. ∵AD//BC，
∴∠ADG=∠CFG（内错角相等），∠AGD=∠CGF（对顶角相等），
∴△AGD∽△CGF（AA），
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{DG}{GF}$，即$\frac{CG}{AG}=\frac{GF}{DG}$。
3. 由1、2得$\frac{DG}{GE}=\frac{GF}{DG}$，
∴$DG^2=GE· GF$，即DG是GE、GF的比例中项。
结论：DG是GE、GF的比例中项。