5. 如图,正方形ABCD的边长为4,M、N分别是边BC、CD上的动点,始终保持MN⊥AM.
(1) 求证:△ABM∽△MCN.
(2) 设BM=x,当x为何值时,△ABM∽△AMN？
(1) 求证:△ABM∽△MCN.
(2) 设BM=x,当x为何值时,△ABM∽△AMN？
答案：证明：因为四边形ABCD是平行四边形
所以AD//BC ， AB//CD
所以$\frac {DG}{GF}=\frac {AG}{CG}，$$\frac {GE}{DG}=\frac {AG}{CG}$
所以$\frac {DG}{GF}=\frac {GE}{DG}$
所以DG²=GE×GF ，
即DG是GE、GF的比例中项
证明： (1)因为MN⊥AM
所以∠AMB= 90°-∠NMC=∠MNC，
又∠B=∠C = 90°
所以△ABM∽△MCN
(2)由△ABM∽△MCN得
$\frac {AM}{MN}=\frac {AB}{MC}=\frac {4}{4-x}$
因为∠ABM=∠AMN=90°
当$\frac {AB}{BM}=\frac {AM}{MN}$时，△ABM∽△AMN
即$\frac {4}{x}=\frac {4}{4-x} ，$
解得x=2
所以AD//BC ， AB//CD
所以$\frac {DG}{GF}=\frac {AG}{CG}，$$\frac {GE}{DG}=\frac {AG}{CG}$
所以$\frac {DG}{GF}=\frac {GE}{DG}$
所以DG²=GE×GF ，
即DG是GE、GF的比例中项
证明： (1)因为MN⊥AM
所以∠AMB= 90°-∠NMC=∠MNC，
又∠B=∠C = 90°
所以△ABM∽△MCN
(2)由△ABM∽△MCN得
$\frac {AM}{MN}=\frac {AB}{MC}=\frac {4}{4-x}$
因为∠ABM=∠AMN=90°
当$\frac {AB}{BM}=\frac {AM}{MN}$时，△ABM∽△AMN
即$\frac {4}{x}=\frac {4}{4-x} ，$
解得x=2
6. 如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E在BC上,CE=2BE,将正方形纸片折叠,使点A与点E重合,折痕为MN,交AE于点G.求三角形纸片ANE的面积.
答案：解：因为正方形ABCD的边长为3
所以AB=BC=3，∠B=90°
因为CE=2BE，
所以$BE=\frac {1}{3}BC = 1$
设AN=x ，则BN=3 - x
因为点A经折叠后与点E重合，折痕为MN
所以MN垂直平分AE .
所以AN=EN=x
在Rt△BEN中，由勾股定理可得， EN²=BN²+BE²
因为EN=x，BN=3 - x， BE=1
所以x²=(3-x)²+1²
解得，$x=\frac {5}{3}$
所以$AN=\frac {5}{3}$
$S_{△ANE}=\frac {1}{2}×AN×BE=\frac {5}{6}$
所以AB=BC=3，∠B=90°
因为CE=2BE，
所以$BE=\frac {1}{3}BC = 1$
设AN=x ，则BN=3 - x
因为点A经折叠后与点E重合，折痕为MN
所以MN垂直平分AE .
所以AN=EN=x
在Rt△BEN中，由勾股定理可得， EN²=BN²+BE²
因为EN=x，BN=3 - x， BE=1
所以x²=(3-x)²+1²
解得，$x=\frac {5}{3}$
所以$AN=\frac {5}{3}$
$S_{△ANE}=\frac {1}{2}×AN×BE=\frac {5}{6}$
例1 (1) 若$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，它们的周长分别为$60\ \mathrm{cm}$和$72\ \mathrm{cm}$，$AB = 15\ \mathrm{cm}$，$B'C' = 24\ \mathrm{cm}$，则$BC =$
(2) 在$1:3000$比例尺的地图上，一块三角形的土地的面积是$16\ \mathrm{cm}^2$，这块三角形土地的实际面积是
20 cm
，$AC =$25 cm
，$A'B' =$18 cm
，$A'C' =$30 cm
.(2) 在$1:3000$比例尺的地图上，一块三角形的土地的面积是$16\ \mathrm{cm}^2$，这块三角形土地的实际面积是
14 400
$\mathrm{m}^2$.答案：20cm
25cm
18cm
30cm
14400
25cm
18cm
30cm
14400