例2 如图6.5.1，在$□ ABCD$中，$E$为$AB$上一点，$DE$与$AC$相交于点$F$，若$AE:EB = 1:2$，且$\triangle AEF$的面积为$60\ \mathrm{cm}^2$.求$\triangle CDF$的面积.
答案：解：由平行四边形ABCD，得DC//AB，DC= AB
所以∠DCA=∠EAF，∠FDC= ∠FEA
所以△DCF∽△EAF，
由AE：EB=1：2，得AE：CD=1：3
所以$S_{△CDF} $：$ S_{△AEF}=1$：9
所以$S_{△CDF} = 540\ \mathrm {cm}²$
所以∠DCA=∠EAF，∠FDC= ∠FEA
所以△DCF∽△EAF，
由AE：EB=1：2，得AE：CD=1：3
所以$S_{△CDF} $：$ S_{△AEF}=1$：9
所以$S_{△CDF} = 540\ \mathrm {cm}²$
1. 若$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，且$AB = 2$，$DE = 3$，则$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长之比为(
A.$2:3$
B.$3:2$
C.$4:9$
D.$9:4$
A
)A.$2:3$
B.$3:2$
C.$4:9$
D.$9:4$
答案：A
2. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，若$AC:BC = 1:2$，则$\triangle ADC$与$\triangle CDB$的面积之比为(
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:5$
C
)A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:5$
答案：C
3. 若两个相似五边形的面积比为$9:16$，其中较大的五边形的周长为$64\ \mathrm{cm}$，则较小的五边形的周长为
48
$\mathrm{cm}$.答案：48
4. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$、$E$分别是$AB$、$AC$的中点，那么$\triangle ADE$与四边形$DBCE$的面积之比是
1:3
.答案：1:3
三、解答题
5. 已知$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，$AB$与$DE$的比为$3:2$，$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长之差为$5\ \mathrm{cm}$.求$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长之和.
5. 已知$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，$AB$与$DE$的比为$3:2$，$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长之差为$5\ \mathrm{cm}$.求$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长之和.
答案：解： 因为△ABC∽△DEF ， AB与DE的比为3 ： 2
所以△ABC与△DEF的周长之比为3 ： 2
设△ABC的周长为$3x\ \mathrm {cm} ，$则△DEF的周长为$2x\ \mathrm {cm}$
因为△ABC与△DEF的周长相差$5\ \mathrm {cm}$
3x-2x=5
解得，x=5
所以△ABC的周长为$15\ \mathrm {cm} ，$ △DEF的周长为$10\ \mathrm {cm}$
所以△ABC和△DEF的周长之和为$25\ \mathrm {cm}$
所以△ABC与△DEF的周长之比为3 ： 2
设△ABC的周长为$3x\ \mathrm {cm} ，$则△DEF的周长为$2x\ \mathrm {cm}$
因为△ABC与△DEF的周长相差$5\ \mathrm {cm}$
3x-2x=5
解得，x=5
所以△ABC的周长为$15\ \mathrm {cm} ，$ △DEF的周长为$10\ \mathrm {cm}$
所以△ABC和△DEF的周长之和为$25\ \mathrm {cm}$