6. 如图，在$\triangle ABC$中，$BC ＞ AC$，点$D$在$BC$上，且$DC = AC$，$\angle ACB$的平分线$CF$交$AD$于点$F$，$E$是$AB$的中点，连接$EF$.
(1) 求证：$EF // BC$.
(2) 若四边形$BDFE$的面积为$6$，求$\triangle ABD$的面积.
(1) 求证：$EF // BC$.
(2) 若四边形$BDFE$的面积为$6$，求$\triangle ABD$的面积.
答案：证明： (1)因为DC= AC，CF是∠ACB的平分线
所以AF= DF，
又E是AB的中点
所以EF//BC
(2)因为EF//BC
所以∠AEF=∠B，∠AFE=∠ADB
所以△AEF∽△ABD
所以$S_{△AEF}$：$ S_{△ABD}= AE²$： AB²=1：4
又$S_{四边形BDFE}= S_{△ABD}-S_{△AEF}=6$
所以$S_{△ABD} = 8$
所以AF= DF，
又E是AB的中点
所以EF//BC
(2)因为EF//BC
所以∠AEF=∠B，∠AFE=∠ADB
所以△AEF∽△ABD
所以$S_{△AEF}$：$ S_{△ABD}= AE²$： AB²=1：4
又$S_{四边形BDFE}= S_{△ABD}-S_{△AEF}=6$
所以$S_{△ABD} = 8$
7. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE // BC$，若$\frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}$，则$\triangle DOE$与$\triangle BOC$的周长之比为
1:3
，面积之比为1:9
.答案：1：3
1：9
1：9
8. 如图，在面积为$S$的正方形$ABCD$中，$E$是$AB$的中点，$BF ⊥ CE$，垂足为$F$.求$\triangle BFC$的面积(用含$S$的代数式表示).
答案：解：因为∠CBF= 90°-∠FBE=∠BEF，∠BFC=∠EFB= 90°
所以△CFB∽△BFE
所以$\frac {S_{△CFB}}{S_{△BFE}}=\frac {BC²}{BE²}=4$
$S_{△EBC}=\frac {1}{4}S$
$S_{△BFC}=\frac {1}{4}S×\frac {4}{1+4}=\frac {1}{5}S$
所以△CFB∽△BFE
所以$\frac {S_{△CFB}}{S_{△BFE}}=\frac {BC²}{BE²}=4$
$S_{△EBC}=\frac {1}{4}S$
$S_{△BFC}=\frac {1}{4}S×\frac {4}{1+4}=\frac {1}{5}S$