7. 如图，王军同学晚上步行回家，由路灯 $AM$ 走向路灯 $BN$. 当他走到点 $P$ 时，发现身后的影子顶部刚好接触到路灯 $AM$ 的底部 $M$；当他向前再步行 $12$ m 到达点 $Q$ 时，发现身前的影子顶部刚好接触到路灯 $BN$ 的底部 $N$. 已知王军的身高是 $1.6$ m，路灯 $AM$ 的高度是 $9.6$ m，且 $MP = NQ = x$ m.
(1)求证：$AM = BN$.
(2)求两个路灯之间的距离.
(3)当王军走到路灯 $BN$ 时，他在路灯 $AM$ 下的影长是多少？
(1)求证：$AM = BN$.
(2)求两个路灯之间的距离.
(3)当王军走到路灯 $BN$ 时，他在路灯 $AM$ 下的影长是多少？
答案：证明：(1)由题意得，CP=DQ，AM⊥MN，BN⊥MN，
CP⊥MN，DQ⊥MN
在△MPC和△NQD中，
$\begin{cases}{CP=DQ }\\{∠MPC=∠NQD=90°}\\{MP=NQ} \end{cases}$
所以$△MPC≌△NQD(\mathrm {SAS})$
所以∠ANM=∠BMN
在△ANM和△BMN中
$\begin{cases}{∠ANM=∠BMN }\\{MN=MN}\\{∠AMN=∠BNM} \end{cases}$
所以$△ANM≌△BMN(\mathrm {ASA})$
所以AM= BN
(2)由题意得，CP=DQ=1.6m ， AM=BN=9.6m ， PQ=12m
因为CP//BN，
所以△MPC∽△MNB
所以$\frac {MP}{MN}=\frac {CP}{BN}$
因为MP=xm，CP=1.6m，BN=9.6m
所以MN=6xm
因为PQ= MN-MP-NQ=12m
所以6x- x- x= 12
解得，x=3
答:两个路灯之间的距离MN= 18m
(3)设他在路灯AM下的影长是ym
由题意得，$\frac {y}{1.6}=\frac {18+y}{9.6}$
解得，y=3.6
答:他在路灯AM下的影长是3.6m
CP⊥MN，DQ⊥MN
在△MPC和△NQD中，
$\begin{cases}{CP=DQ }\\{∠MPC=∠NQD=90°}\\{MP=NQ} \end{cases}$
所以$△MPC≌△NQD(\mathrm {SAS})$
所以∠ANM=∠BMN
在△ANM和△BMN中
$\begin{cases}{∠ANM=∠BMN }\\{MN=MN}\\{∠AMN=∠BNM} \end{cases}$
所以$△ANM≌△BMN(\mathrm {ASA})$
所以AM= BN
(2)由题意得，CP=DQ=1.6m ， AM=BN=9.6m ， PQ=12m
因为CP//BN，
所以△MPC∽△MNB
所以$\frac {MP}{MN}=\frac {CP}{BN}$
因为MP=xm，CP=1.6m，BN=9.6m
所以MN=6xm
因为PQ= MN-MP-NQ=12m
所以6x- x- x= 12
解得，x=3
答:两个路灯之间的距离MN= 18m
(3)设他在路灯AM下的影长是ym
由题意得，$\frac {y}{1.6}=\frac {18+y}{9.6}$
解得，y=3.6
答:他在路灯AM下的影长是3.6m
例 1 如图 6.7.3，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，一动点 P 从点 B 出发，沿 BC 方向以 1 cm/s 的速度向点 C 移动，与此同时，另一动点 Q 从点 C 出发，沿 CA 方向以 2 cm/s 的速度向点 A 移动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.点 P、Q 移动多长时间时，以 C、P、Q 为顶点的三角形与△CAB 相似?
答案：解：设P、Q开始移动ts后，△CPQ与△CAB相似
①当△CPQ∽△CAB时，有$\frac {CP}{CA}=\frac {CQ}{CB}$
所以$\frac {6-t}{8}=\frac {2t}{6}$
解得，$t=\frac {18}{11}$
②当△CPQ∽△CBA时，有$\frac {CP}{CB}=\frac {CQ}{CA}$
所以$\frac {6-t}{6}=\frac {2t}{8}$
解得，$t=\frac {12}{5}$
综上所述，当P、Q开始移动$\frac {18}{11}$秒或$\frac {12}{5}$秒后， △CPQ与△CAB相似。
①当△CPQ∽△CAB时，有$\frac {CP}{CA}=\frac {CQ}{CB}$
所以$\frac {6-t}{8}=\frac {2t}{6}$
解得，$t=\frac {18}{11}$
②当△CPQ∽△CBA时，有$\frac {CP}{CB}=\frac {CQ}{CA}$
所以$\frac {6-t}{6}=\frac {2t}{8}$
解得，$t=\frac {12}{5}$
综上所述，当P、Q开始移动$\frac {18}{11}$秒或$\frac {12}{5}$秒后， △CPQ与△CAB相似。