例 2 如图 6.7.4，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为(6，$\frac{9}{2}$)，点 B 的坐标为(6，0).
(1) 以原点 O 为位似中心，将线段 AB 按相似比 2:1 放大，并且对应线段 CD 在 y 轴左侧，其中，点 C 与点 A 对应，点 D 与点 B 对应.直接写出 C、D 两点的坐标.
(2) 在(1)中，若将 y 轴正半轴上的点 P 作为位似中心，其余条件不变，且点 A 的对应点 C 恰好在 x 轴上，求点 P 的坐标.
(3) 试探究(2)中的$\frac{1}{AB}$、$\frac{1}{CD}$、$\frac{1}{OP}$之间的关系.
(1) 以原点 O 为位似中心，将线段 AB 按相似比 2:1 放大，并且对应线段 CD 在 y 轴左侧，其中，点 C 与点 A 对应，点 D 与点 B 对应.直接写出 C、D 两点的坐标.
(2) 在(1)中，若将 y 轴正半轴上的点 P 作为位似中心，其余条件不变，且点 A 的对应点 C 恰好在 x 轴上，求点 P 的坐标.
(3) 试探究(2)中的$\frac{1}{AB}$、$\frac{1}{CD}$、$\frac{1}{OP}$之间的关系.
答案：解：(1)C(-12 ， -9) ， D(-12 ， 0)
(2)由题意可得，CP： AP=2： 1 ， △PCD∽△PAB
因为△PCD∽△PAB
所以∠CDP=∠ABP
所以AB//CD
所以△POC∽△ABC
因为CP：AP=2：1
所以$\frac {OP}{AB}=\frac {CP}{AC}=\frac {2}{3}$
所以点A坐标为(6，$\frac {9}{2})，$即$AB=\frac {9}{2}$
所以OP=3
所以点P的坐标为(0，3)
(3)因为△POC∽△ABC
所以$\frac {OP}{AB}=\frac {CP}{AC}$
因为AB//CD
所以△POB∽△DCB
因为△PAB∽△PCD
所以$\frac {OP}{CD}=\frac {BP}{BD}=\frac {AP}{AC}$
所以$\frac {OP}{AB}+\frac {OP}{CD}=\frac {CP}{AC}+\frac {AP}{AC}=1$
所以$\frac {1}{AB}+\frac {1}{CD}=\frac {1}{OP}$
(2)由题意可得，CP： AP=2： 1 ， △PCD∽△PAB
因为△PCD∽△PAB
所以∠CDP=∠ABP
所以AB//CD
所以△POC∽△ABC
因为CP：AP=2：1
所以$\frac {OP}{AB}=\frac {CP}{AC}=\frac {2}{3}$
所以点A坐标为(6，$\frac {9}{2})，$即$AB=\frac {9}{2}$
所以OP=3
所以点P的坐标为(0，3)
(3)因为△POC∽△ABC
所以$\frac {OP}{AB}=\frac {CP}{AC}$
因为AB//CD
所以△POB∽△DCB
因为△PAB∽△PCD
所以$\frac {OP}{CD}=\frac {BP}{BD}=\frac {AP}{AC}$
所以$\frac {OP}{AB}+\frac {OP}{CD}=\frac {CP}{AC}+\frac {AP}{AC}=1$
所以$\frac {1}{AB}+\frac {1}{CD}=\frac {1}{OP}$
1. 小华设计如图的测量方式来测量河宽 DE，其中△ABD、△ACE 都为直角三角形.已知量得 AD=20 m，BD=15 m，CE=45 m，则河宽 DE 为(
A.50 m
B.40 m
C.60 m
D.80 m
B
)A.50 m
B.40 m
C.60 m
D.80 m
答案：B
2. 如图，D 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的任意一点(与点 A、B 不重合)，过点 D 作一条直线截△ABC，使截得的小三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线的作法共有(
A.1 种
B.2 种
C.3 种
D.4 种
C
)A.1 种
B.2 种
C.3 种
D.4 种
答案：C