7. 如图，$ \triangle ABC $ 是锐角三角形，$ AB = 10 \mathrm{ cm} $，$ BC = 9 \mathrm{ cm} $，$ \triangle ABC $ 的面积为 $ 27 \mathrm{ cm}^2 $，求 $ \tan B $ 的值.
答案：
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵BC=9cm，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=27cm^2$
∴AD=6cm
∵AB=10cm，AD⊥BC
∴$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8cm$
∴$tanB=\frac{AD}{BD}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵BC=9cm，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=27cm^2$
∴AD=6cm
∵AB=10cm，AD⊥BC
∴$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8cm$
∴$tanB=\frac{AD}{BD}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
8. 如图，在正方形网格中，$ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 四点都是格点，若 $ AB $、$ CD $ 相交于点 $ P $，则 $ \dfrac{AP}{PB} $ 的值为
3
，$ \tan \angle APD $ 的值为2
.答案：3
2
2
9. 如图，过点 $ P $ 作 $ \odot O $ 的两条切线，切点分别为 $ A $、$ B $，连接 $ OA $、$ OB $、$ OP $，取 $ OP $ 的中点 $ C $，连接 $ AC $ 并延长，交 $ \odot O $ 于点 $ D $，连接 $ BD $.
(1)求证：$ \angle ADB = \angle AOP $.
(2)延长 $ OP $ 交 $ DB $ 的延长线于点 $ E $. 若 $ AP = 10 $，$ \tan \angle AOP = \dfrac{1}{2} $，求 $ DE $ 的长.
(1)求证：$ \angle ADB = \angle AOP $.
(2)延长 $ OP $ 交 $ DB $ 的延长线于点 $ E $. 若 $ AP = 10 $，$ \tan \angle AOP = \dfrac{1}{2} $，求 $ DE $ 的长.
答案：9. (1) 略;(2) 44.
解析：
(1) 证明：
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，∠AOP=∠BOP。
∵C是OP中点，
∴AC=OC=PC，
∴∠OAC=∠AOP。
∵∠OAC=∠ADB（同弧所对圆周角相等），
∴∠ADB=∠AOP。
(2) 解：
在Rt△OAP中，tan∠AOP=AP/OA=1/2，AP=10，
∴OA=20，OP=√(OA²+AP²)=√(20²+10²)=10√5。
∵C是OP中点，
∴OC=PC=5√5。
由(1)知∠ADB=∠AOP，∠OAC=∠ADB，
∴∠OAC=∠AOP，
∴△OAC∽△ODA，
∴OA/OD=OC/OA，OD=OA²/OC=20²/(5√5)=16√5。
∵∠OBD=∠OAD=∠AOP，∠E=∠E，
∴△EBD∽△EOA，
∴EB/EO=BD/OA。
设OE=x，EB=y，
则BD=√(OD²-OB²)=√((16√5)²-20²)=24，
∴y/x=24/20=6/5，即y=6/5x。
在Rt△OBE中，OB²+EB²=OE²，
∴20²+(6/5x)²=x²，
解得x=50（负值舍去），
∴DE=OE+OD=50+16√5-16√5=44。
答案：(1) 见证明；(2) 44
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，∠AOP=∠BOP。
∵C是OP中点，
∴AC=OC=PC，
∴∠OAC=∠AOP。
∵∠OAC=∠ADB（同弧所对圆周角相等），
∴∠ADB=∠AOP。
(2) 解：
在Rt△OAP中，tan∠AOP=AP/OA=1/2，AP=10，
∴OA=20，OP=√(OA²+AP²)=√(20²+10²)=10√5。
∵C是OP中点，
∴OC=PC=5√5。
由(1)知∠ADB=∠AOP，∠OAC=∠ADB，
∴∠OAC=∠AOP，
∴△OAC∽△ODA，
∴OA/OD=OC/OA，OD=OA²/OC=20²/(5√5)=16√5。
∵∠OBD=∠OAD=∠AOP，∠E=∠E，
∴△EBD∽△EOA，
∴EB/EO=BD/OA。
设OE=x，EB=y，
则BD=√(OD²-OB²)=√((16√5)²-20²)=24，
∴y/x=24/20=6/5，即y=6/5x。
在Rt△OBE中，OB²+EB²=OE²，
∴20²+(6/5x)²=x²，
解得x=50（负值舍去），
∴DE=OE+OD=50+16√5-16√5=44。
答案：(1) 见证明；(2) 44