例 1 在$\triangle ABC$中,$\angle A+\angle B=90^{\circ}$,且$\sin A=\frac{5}{13}$,求$\sin B$的值.
答案：解：因为∠A+∠B=90°
所以∠C=90°
在Rt△ABC中，因为$sinA= \frac {BC}{AB}=\frac {5}{13}$
所以$BC=\frac {5}{13}\ \mathrm {AB}$
所以$AC= \sqrt{AB²-BC²}=\frac {12}{13}AB$
所以$sinB=\frac {AC}{AB}=\frac {12}{13}$
所以∠C=90°
在Rt△ABC中，因为$sinA= \frac {BC}{AB}=\frac {5}{13}$
所以$BC=\frac {5}{13}\ \mathrm {AB}$
所以$AC= \sqrt{AB²-BC²}=\frac {12}{13}AB$
所以$sinB=\frac {AC}{AB}=\frac {12}{13}$
例 2 如图 7.2.1①所示的是第 14 届国际数学教育大会(ICME - 14)的会标,会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(图②).若$EF:AH=1:3$. 求$\cos \angle ABE$的值.
答案： 解：由题意可知，AE=BF，HE=EF
所以AH=BE
因为EF：AH=1:3
所以HE：AH=1:3
不妨设HE=a，则AH=BE=3a，AE=4a
因为∠AEB=90°
所以$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{(4a)^2+(3a)^2}=5a$
所以$cos∠ABE=\frac{BE}{AB}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}$
所以AH=BE
因为EF：AH=1:3
所以HE：AH=1:3
不妨设HE=a，则AH=BE=3a，AE=4a
因为∠AEB=90°
所以$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{(4a)^2+(3a)^2}=5a$
所以$cos∠ABE=\frac{BE}{AB}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}$
1. 在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=1$,$BC=\sqrt{3}$,则$\sin A$的值为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案：C
2. 如图为人行天桥的示意图,若天桥的高$BC$为 10 m,斜坡$AC$长 30 m,则$\sin A$的值为 (
A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.3
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{1}{3}$
D
)A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.3
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{1}{3}$
答案：2. D.
解析：
在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ABC = 90°$，$BC = 10\ \mathrm{m}$，$AC = 30\ \mathrm{m}$。
$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$
D
$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$
D