4. 如图，一束光水平照射在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为 $60^{\circ}$，则平面镜的垂线与水平地面的夹角 $\alpha$ 的余弦值为
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
。答案：$\frac {\sqrt{3}}{2}$
三、解答题
5. 计算：
(1)$2\cos 30^{\circ}+\tan 60^{\circ}-2\tan 45^{\circ}$；(2)$\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}$。
5. 计算：
(1)$2\cos 30^{\circ}+\tan 60^{\circ}-2\tan 45^{\circ}$；(2)$\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}$。
答案：5. (1) $2\sqrt{3}-2$;(2) $\frac{3}{4}$.
解析：
(1) $2\cos 30^{\circ}+\tan 60^{\circ}-2\tan 45^{\circ}$
$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}-2×1$
$=\sqrt{3}+\sqrt{3}-2$
$=2\sqrt{3}-2$
(2) $\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}$
$=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
$=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}$
$=\frac{3}{4}$
$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}-2×1$
$=\sqrt{3}+\sqrt{3}-2$
$=2\sqrt{3}-2$
(2) $\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}$
$=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
$=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}$
$=\frac{3}{4}$
6. 如图，以点 $O$ 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 $OM$ 交于点 $A$，再以点 $A$ 为圆心，$AO$ 长为半径画弧，两弧交于点 $B$，画射线 $OB$，求 $\tan\angle AOB$ 的值。
答案：解：由题意得，OA=OB=AB
因为OA=OB=AB
所以△ABC是等边三角形
所以∠AOB= 60°
所以$tan∠AOB=\sqrt{3}$
因为OA=OB=AB
所以△ABC是等边三角形
所以∠AOB= 60°
所以$tan∠AOB=\sqrt{3}$
7. 如图，甲施工队沿 $AB$ 方向在一湖泊上架桥修路，为加快施工进度，乙施工队在湖另一边的点 $D$ 处同时施工。已知点 $D$ 在直线 $AB$ 上，且在点 $C$ 处测得 $\angle ABC = 150^{\circ}$，$BC = 1600m$，$\angle BCD = 105^{\circ}$，求 $B$、$D$ 两点的距离。
答案：
解：过点C作CE⊥AD
因为∠ABC=150°
所以∠CBD=180°-∠ABC=30°
所以∠BCE=90°-30°=60°
因为∠BCD=105°
所以∠DCE=∠BCD-∠BCE=45°
所以CE=DE
因为$sin∠BCE=sin{30}°=\frac {CE}{BC}=\frac {CE}{1600}=\frac {1}{2}$
所以CE=800
所以CE=DE=800
所以∠ECD=45°
所以∠BCE=60°
所以$BE=\sqrt{3}CE=800\sqrt{3}m$
所以$BD=800\sqrt{3}+800m$
解：过点C作CE⊥AD
因为∠ABC=150°
所以∠CBD=180°-∠ABC=30°
所以∠BCE=90°-30°=60°
因为∠BCD=105°
所以∠DCE=∠BCD-∠BCE=45°
所以CE=DE
因为$sin∠BCE=sin{30}°=\frac {CE}{BC}=\frac {CE}{1600}=\frac {1}{2}$
所以CE=800
所以CE=DE=800
所以∠ECD=45°
所以∠BCE=60°
所以$BE=\sqrt{3}CE=800\sqrt{3}m$
所以$BD=800\sqrt{3}+800m$
8. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 60^{\circ}$，$AC = 4$。若 $\triangle ABC$ 是锐角三角形，则边 $AB$ 长的取值范围是
$2 ＜ AB ＜ 8$
。答案：2＜AB＜8