例 2 人要安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 $\alpha$ 一般要满足 $53^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 72^{\circ}$. 如图 7.4.1，梯子 $AB$ 斜靠在竖直的墙 $AO$ 上，$AB$ 的长为 $4 \mathrm{~m}$.
(1) 若要安全使用这架梯子，则梯子顶端 $A$ 与地面距离的最大值可为多少?
(2) 当梯子底端 $B$ 距离墙面 $1.64 \mathrm{~m}$ 时，计算 $\angle A B O$，并判断此时人是否能安全使用这架梯子. (参考数据：$\sin 53^{\circ} \approx 0.80$，$\cos 53^{\circ} \approx 0.60$，$\sin 72^{\circ} \approx 0.95$，$\cos 72^{\circ} \approx 0.31$，$\sin 66^{\circ} \approx 0.91$，$\cos 66^{\circ} \approx 0.41$)
(1) 若要安全使用这架梯子，则梯子顶端 $A$ 与地面距离的最大值可为多少?
(2) 当梯子底端 $B$ 距离墙面 $1.64 \mathrm{~m}$ 时，计算 $\angle A B O$，并判断此时人是否能安全使用这架梯子. (参考数据：$\sin 53^{\circ} \approx 0.80$，$\cos 53^{\circ} \approx 0.60$，$\sin 72^{\circ} \approx 0.95$，$\cos 72^{\circ} \approx 0.31$，$\sin 66^{\circ} \approx 0.91$，$\cos 66^{\circ} \approx 0.41$)
答案：解：(1)由题意可得：当a=72°时，AO取得最大值
在Rt△AOB中，$sin∠ABO=\frac {AO}{AB}$
所以$AO=AB×sin∠ABO=4×sin{72}°=3.8(\mathrm {m})$
所以梯子顶端A与地面距离的最大值为3.8m
(2)在Rt△AOB中，$cos∠ABO=\frac {BO}{AB}=\frac {1.64}{4}=0.41$
所以∠ABO≈66°
因为53°＜66°＜72°
所以人能安全使用这架梯子
在Rt△AOB中，$sin∠ABO=\frac {AO}{AB}$
所以$AO=AB×sin∠ABO=4×sin{72}°=3.8(\mathrm {m})$
所以梯子顶端A与地面距离的最大值为3.8m
(2)在Rt△AOB中，$cos∠ABO=\frac {BO}{AB}=\frac {1.64}{4}=0.41$
所以∠ABO≈66°
因为53°＜66°＜72°
所以人能安全使用这架梯子
1. 在 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}$，$B C=\sqrt{5}$，$A C=\sqrt{15}$，则 $\angle A$ 的度数为
$30^{\circ}$
.答案：30°
2. 在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A$、$\angle B$ 都是锐角，$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，则 $\triangle A B C$ 的形状是
等边三角形
.答案：等边三角形
3. 在 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 中，若 $\cos A=\frac{1}{2}$，则 $\sin A=$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
.答案：$3. \frac{\sqrt{3}}{2}.$
解析：
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\cos A = \frac{1}{2}$，且$0° ＜ A ＜ 90°$，则$\angle A = 60°$，所以$\sin A = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
二、解答题
4. 求满足下列各式的锐角 $\alpha$：
(1) $2 \sin \left(\alpha-20^{\circ}\right)=1$；
(2) $\tan ^{2} \alpha+\tan \alpha-2=0$.
4. 求满足下列各式的锐角 $\alpha$：
(1) $2 \sin \left(\alpha-20^{\circ}\right)=1$；
(2) $\tan ^{2} \alpha+\tan \alpha-2=0$.
答案：解：$ (1)sin(a- 20°)=\frac {1}{2}$
a-20°=30°
a=50°
解：(2) (tana + 2)(tana- 1)= 0
tana+ 2= 0或tana- 1 = 0
tana= - 2或tana= 1
因为$tana\gt 0$
tana= 1
a=45°
a-20°=30°
a=50°
解：(2) (tana + 2)(tana- 1)= 0
tana+ 2= 0或tana- 1 = 0
tana= - 2或tana= 1
因为$tana\gt 0$
tana= 1
a=45°
5. 已知在 $\triangle A B C$ 中，$A D$ 是边 $B C$ 上的高，$A D=2$，$A C=2 \sqrt{2}$，$A B=4$，求 $\angle B A C$ 的度数.
答案：
解：如图①，$sinB=\frac {AD}{AB}=\frac {1}{2}，$∠B=30°
$sinC=\frac {AD}{AC}=\frac {\sqrt{2}}{2}，$∠C= 45°
所以∠BAC=180°-30°-45°=105°
如图②，$cos∠DAC =\frac {AD}{AC}=\frac {\sqrt{2}}{2}，$∠DAC= 45°
$cos∠DAB=\frac {AD}{AB}=\frac {1}{2}，$∠DAB=60°
所以∠BAC = 60°-45° = 15°
解：如图①，$sinB=\frac {AD}{AB}=\frac {1}{2}，$∠B=30°
$sinC=\frac {AD}{AC}=\frac {\sqrt{2}}{2}，$∠C= 45°
所以∠BAC=180°-30°-45°=105°
如图②，$cos∠DAC =\frac {AD}{AC}=\frac {\sqrt{2}}{2}，$∠DAC= 45°
$cos∠DAB=\frac {AD}{AB}=\frac {1}{2}，$∠DAB=60°
所以∠BAC = 60°-45° = 15°