例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，请根据下列条件解直角三角形.
(1)a=10，∠A=45°；
(2)a=5，b=5√3.
(1)a=10，∠A=45°；
(2)a=5，b=5√3.
答案：解： (1)在Rt△ABC中
因为∠A=45°，∠C=90°
所以∠B=45°
因为a=10，∠A=∠B
所以b=a= 10，$ c=\sqrt{a²+b²}=10\sqrt{2}$
(2)在Rt△ABC中，
因为a=5，$ b= 5\sqrt{3}$
所以$c=\sqrt{a²+b²}= 10$
因为$sinA=\frac {a}{c}=\frac {1}{2}$
所以∠A=30°，∠B= 60°
因为∠A=45°，∠C=90°
所以∠B=45°
因为a=10，∠A=∠B
所以b=a= 10，$ c=\sqrt{a²+b²}=10\sqrt{2}$
(2)在Rt△ABC中，
因为a=5，$ b= 5\sqrt{3}$
所以$c=\sqrt{a²+b²}= 10$
因为$sinA=\frac {a}{c}=\frac {1}{2}$
所以∠A=30°，∠B= 60°
例2 如图7.5.1，已知sinα=24/25，tanβ=3，BE=20，求AB的长.
答案：
解:如图,过点A作AF⊥CD于点F，
所以∠AFB= 90°.
在Rt△ABF 中，$sin a=\frac {AF}{AB}=\frac {24}{25}$
所以设AF=24x，AB=25x，
所以由勾股定理得$BF=\sqrt{AB²-AF²}=\sqrt{(25x)²-(24x)²}=7x.$
在Rt△AFE中，$tan β=\frac {AF}{EF}=3.$
因为BE=20米,
所以$\frac {24x}{7x+20}=3$
解得x=20，
所以 AB= 25x= 500.
解:如图,过点A作AF⊥CD于点F，
所以∠AFB= 90°.
在Rt△ABF 中，$sin a=\frac {AF}{AB}=\frac {24}{25}$
所以设AF=24x，AB=25x，
所以由勾股定理得$BF=\sqrt{AB²-AF²}=\sqrt{(25x)²-(24x)²}=7x.$
在Rt△AFE中，$tan β=\frac {AF}{EF}=3.$
因为BE=20米,
所以$\frac {24x}{7x+20}=3$
解得x=20，
所以 AB= 25x= 500.
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，c=6，则a等于 (
A.3
B.2√3
C.3√2
D.6√2
C
)A.3
B.2√3
C.3√2
D.6√2
答案：C
2. 在△ABC中，AC=6，BC=10，AB=14，则∠C的度数为 (
A.100°
B.105°
C.120°
D.135°
C
)A.100°
B.105°
C.120°
D.135°
答案：2.C.
解析：
在△ABC中，已知AC=6，BC=10，AB=14，要求∠C的度数。
根据余弦定理：对于任意三角形，有$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，其中$a$、$b$为角$C$的两边，$c$为角$C$的对边。
在此题中，$a = BC = 10$，$b = AC = 6$，$c = AB = 14$。
将数值代入余弦定理公式可得：
$\begin{aligned}AB^2&=AC^2 + BC^2 - 2× AC× BC×\cos C\\14^2&=6^2 + 10^2 - 2×6×10×\cos C\\196&=36 + 100 - 120×\cos C\\196&=136 - 120\cos C\\196 - 136&=-120\cos C\\60&=-120\cos C\\\cos C&=-\frac{60}{120}=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
因为$0^{\circ} ＜ C ＜ 180^{\circ}$，且$\cos C = -\frac{1}{2}$，所以$C = 120^{\circ}$。
答案：C
根据余弦定理：对于任意三角形，有$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，其中$a$、$b$为角$C$的两边，$c$为角$C$的对边。
在此题中，$a = BC = 10$，$b = AC = 6$，$c = AB = 14$。
将数值代入余弦定理公式可得：
$\begin{aligned}AB^2&=AC^2 + BC^2 - 2× AC× BC×\cos C\\14^2&=6^2 + 10^2 - 2×6×10×\cos C\\196&=36 + 100 - 120×\cos C\\196&=136 - 120\cos C\\196 - 136&=-120\cos C\\60&=-120\cos C\\\cos C&=-\frac{60}{120}=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
因为$0^{\circ} ＜ C ＜ 180^{\circ}$，且$\cos C = -\frac{1}{2}$，所以$C = 120^{\circ}$。
答案：C
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，tanA=1，则BC的长为
$2\sqrt{2}$
.答案：$2\sqrt{2}$
4. 如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD=120°，其中点A、B、C都在格点上，则tan∠BCD的值为
$2\sqrt{3}$
.答案：$2\sqrt{3}$