例 1 某地下车库出口处设立了“两段式栏杆”，点 $ A $ 是栏杆转动的支点，点 $ E $ 是栏杆两段的连接点. 当车辆经过时，栏杆 $ AEF $ 升起后的位置如图 7.6.1，其中 $ AB ⊥ BC $，$ EF // BC $，$ \angle EAB = 120° $，$ AB = AE = 1.6 \mathrm{ m} $. 求当车辆经过时，栏杆 $ EF $ 段距离地面的高度.
答案：
解：过点E作EG⊥BC，垂足为点G ，
过点A作AD⊥EG，垂足为点D ，如图所示
因为EG⊥BC， AD⊥EG，AB⊥BC
所以四边形ABGD为矩形
所以∠EAD= 120°-90°=30° ， AB=DG=1.6m ；
在Rt△ADE中
因为AE=1.6m，∠EAD= 30°
所以$ED= AE×sin_{30}°=0.8m$
所以EG=ED+ DF=2.4m ，
即栏杆EF段距离底面的高度为2.4米。
解：过点E作EG⊥BC，垂足为点G ，
过点A作AD⊥EG，垂足为点D ，如图所示
因为EG⊥BC， AD⊥EG，AB⊥BC
所以四边形ABGD为矩形
所以∠EAD= 120°-90°=30° ， AB=DG=1.6m ；
在Rt△ADE中
因为AE=1.6m，∠EAD= 30°
所以$ED= AE×sin_{30}°=0.8m$
所以EG=ED+ DF=2.4m ，
即栏杆EF段距离底面的高度为2.4米。
例 2 如图 7.6.2 是某种玻璃淋浴房的俯视示意图，$ AE $ 与 $ DE $ 是墙，$ AB $ 与 $ CD $ 是固定的玻璃隔板，$ BC $ 是门框，测得 $ AB = BC = CD = 60 \mathrm{ cm} $，$ \angle ABC = \angle BCD = 135° $，$ MN $ 是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点 $ M $，$ N $ 分别在 $ BC $，$ CD $ 对应的轨道上滑动. 当点 $ N $ 与点 $ C $ 重合时，推拉门与门框完全闭合；当点 $ N $ 滑动到限位点 $ P $ 处时，门打开至最大，此时测得 $ \angle CNM = 6° $.
(1) 在门从闭合到打开至最大的过程中，
① $ \angle CMN $ 的最小值为
② $ \triangle CMN $ 面积的变化情况是 (
A. 越来越大
B. 越来越小
C. 先增大后减小
(2) 当 $ \angle CMN = 30° $ 时，求 $ \triangle CMN $ 的面积.
(1) 在门从闭合到打开至最大的过程中，
① $ \angle CMN $ 的最小值为
0
$ ° $，最大值为39
$ ° $；② $ \triangle CMN $ 面积的变化情况是 (
C
)A. 越来越大
B. 越来越小
C. 先增大后减小
(2) 当 $ \angle CMN = 30° $ 时，求 $ \triangle CMN $ 的面积.
答案：例$2 $解$(1)①$当点$N$与点$C$重合时，推拉门与门框完全闭合，此时$\angle CMN$有最小值，为$0^{\circ}。$当点$N$滑动到限位点$P$处时，推拉门推至最大，此时$\angle CNM = 6^{\circ}，$则此时$\angle CMN$有最大值。$\because\angle CNM = 6^{\circ}，$$\angle BCD = 135^{\circ}，$$\therefore\angle CMN = 180^{\circ}-6^{\circ}-135^{\circ}=39^{\circ}，$即$\angle CMN$的最大值为$39^{\circ}。$故答案为$0，$$39。$$②$根据特殊情况分析如下：当点$N$与点$C$重合时，$S_{\triangle CMN}=0；$如果没有点$P$的限制，那么当点$N$与点$D$重合时，$S_{\triangle CMN}=0，$$\therefore\triangle CMN$面积的变化情况是先增大后减小，故选$C。$$(2)$如图$,$过点$N$作$NH⊥BC$交$BC$的延长线于点$H.$依题意可知$MN = BC = 60.$∵$∠CMN = 30°,$∴$NH=\frac{1}{2}MN = 30,MH = MN·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}MN = 30\sqrt{3}.$∵$∠BCD = 135°,$∴$∠NCH = ∠CNH = 45°,$∴$CH = NH = 30,$∴$MC = 30\sqrt{3}-30,$∴$S_{△CMN}=\frac{1}{2}×(30\sqrt{3}-30)×30=(450\sqrt{3}-450)cm^{2}.$答$:$当$∠CMN = 30°$时$,△CMN$的面积为$(450\sqrt{3}-450)cm^{2}$