4. 如图①，在水平地面上，一辆小车通过一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起. 起始位置如图②，此时测得点 $ A $ 到 $ BC $ 所在直线的距离 $ AC = 3 \mathrm{ m} $，$ \angle CAB = 60° $；停止位置如图③，此时测得 $ \angle CDB = 30° $，点 $ C $、$ A $、$ D $ 在同一条直线上.
(1) 求 $ AB $ 的长；
(2) 求物体上升的高度 $ CE $.
(1) 求 $ AB $ 的长；
(2) 求物体上升的高度 $ CE $.
答案：解:(1)在Rt△ABC中，AC=3m，∠CAB=60°
∴∠ABC=30°,
∴AB=2AC=6m，则AB的长为6m
(2)在Rt△ABC中，AB=6m，AC=3m
根据勾股定理得$BC= \sqrt{AB²-AC²}=3\sqrt{3}m$
在Rt△BCD中$,∠CDB=30°,sin{30}°=\frac{1}{2}$
∴$sin∠CDB=\frac{BC}{BD}，$即$\frac{3\sqrt{3}}{BD}=\frac{1}{2}，$
∴$BD=6\sqrt{3}m$
∴$CE=BD-BA=(6\sqrt{3}-6)m$
则物体上升的高度CE为$(6\sqrt{3}-6)m$
∴∠ABC=30°,
∴AB=2AC=6m，则AB的长为6m
(2)在Rt△ABC中，AB=6m，AC=3m
根据勾股定理得$BC= \sqrt{AB²-AC²}=3\sqrt{3}m$
在Rt△BCD中$,∠CDB=30°,sin{30}°=\frac{1}{2}$
∴$sin∠CDB=\frac{BC}{BD}，$即$\frac{3\sqrt{3}}{BD}=\frac{1}{2}，$
∴$BD=6\sqrt{3}m$
∴$CE=BD-BA=(6\sqrt{3}-6)m$
则物体上升的高度CE为$(6\sqrt{3}-6)m$
5. 四边形具有不稳定性，工程上可利用这一性质解决问题. 如图是某篮球架的侧面示意图，$ BE $、$ CD $、$ GF $ 为长度固定的支架，支架在点 $ A $、$ D $、$ G $ 处与立柱 $ AH $ 连接($ AH ⊥ MN $，垂足为 $ H $)，在点 $ B $、$ C $ 处与篮板连接($ BC $ 所在直线垂直于 $ MN $)，$ EF $ 是可以调节长度的伸缩臂(通过旋转点 $ F $ 处的螺栓可以改变 $ EF $ 的长度，使得支架 $ BE $ 绕点 $ A $ 旋转，从而改变四边形 $ ABCD $ 的形状，以调节篮板的高度). 已知 $ AD = BC $，$ DH = 208 \mathrm{ cm} $. 若测得 $ \angle GAE = 60° $ 时，点 $ C $ 距离地面的高度为 $ 288 \mathrm{ cm} $，则调节伸缩臂 $ EF $，将 $ \angle GAE $ 由 $ 60° $ 调节为 $ 54° $ 时，点 $ C $ 距离地面的高度升高了多少？
(参考数据：$ \sin 54° \approx 0.8 $，$ \cos 54° \approx 0.6 $)
(参考数据：$ \sin 54° \approx 0.8 $，$ \cos 54° \approx 0.6 $)
答案：
解:点C离地面的高度升高了，
当∠GAE =60°时,如图(1)，
过点C作CK⊥AH，交AH所在直线于点K.
因为BC⊥MN，AH⊥MN，
所以BC//AD，
又因为AD = BC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AB//CD，
所以∠ADC=∠GAE = 60°.
因为点C离地面的高度为$288\ \mathrm {cm}，$$ DH =208\ \mathrm {cm}，$
所以$DK=80\ \mathrm {cm}，$
所以$CD=\frac {DK}{cos_{60}°}=160\ \mathrm {cm}$
当∠GAE =54°时，如图(2)，过点C作CK'⊥AH，垂足为K'，
则∠CDK' =54°，
所以$DK' =CD×cos 54°≈96\ \mathrm {cm}.$
所以$96-80=16(\ \mathrm {cm})，$
所以点C离地面的高度升高约$16\ \mathrm {cm}.$
解:点C离地面的高度升高了，
当∠GAE =60°时,如图(1)，
过点C作CK⊥AH，交AH所在直线于点K.
因为BC⊥MN，AH⊥MN，
所以BC//AD，
又因为AD = BC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AB//CD，
所以∠ADC=∠GAE = 60°.
因为点C离地面的高度为$288\ \mathrm {cm}，$$ DH =208\ \mathrm {cm}，$
所以$DK=80\ \mathrm {cm}，$
所以$CD=\frac {DK}{cos_{60}°}=160\ \mathrm {cm}$
当∠GAE =54°时，如图(2)，过点C作CK'⊥AH，垂足为K'，
则∠CDK' =54°，
所以$DK' =CD×cos 54°≈96\ \mathrm {cm}.$
所以$96-80=16(\ \mathrm {cm})，$
所以点C离地面的高度升高约$16\ \mathrm {cm}.$