5. 如图，甲、乙两艘货轮同时从 $ A $ 港出发，分别向 $ B $、$ D $ 两港运送物资，最后到达 $ A $ 港正东方向的 $ C $ 港装运新物资.甲货轮沿 $ A $ 港的东南方向航行 $ 40 $ 海里后到达 $ B $ 港，再沿北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向航行一定距离到达 $ C $ 港.乙货轮沿 $ A $ 港的北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向航行一定距离到达 $ D $ 港，再沿南偏东 $ 30^{\circ} $ 方向航行一定距离到达 $ C $ 港.若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠 $ B $、$ D $ 两港的时间相同)，哪艘货轮先到达 $ C $ 港？请通过计算说明.
答案：
解:过点B作BE⊥AC，垂足为E
在Rt△ABE中，∠BAE=90°-45°=45°，AB=40海里
∴$AE=AB\cdot cos45°=40×\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$海里
$BE=AB\cdot sin45°=40×\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$海里
在Rt△BCE中，∠CBE=60°
∴$ CE=BE\cdot tan60°=20\sqrt{2}×\sqrt{3}=20\sqrt{6}$海里
∴$AC=AE+CE=20\sqrt{2}+20\sqrt{6}$海里
∵DF//AG
∴ ∠GAD=∠ADF=60°
∵∠CDF=30°，
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°
在Rt△ACD中，∠CAD=90°-∠GAD=30°
∴$CD=\frac{1}{2}AC=(10\sqrt{2}+10\sqrt{6}$海里，
$AD=\sqrt{3}CD=(10\sqrt{6}+30\sqrt{2})$海里
在Rt△BCE中$,∠CBE=60°,BE=20\sqrt{2}$海里
∴$BC=\frac{BE}{cos60°}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac12}=40 \sqrt{2}$海里
∴ 甲货轮航行的路程$=AB+BC=40+40\sqrt{2}$海里
乙货轮航行的路程$=AD+CD=10\sqrt{6}+30 \sqrt{2}+10\sqrt{2}+$
$10\sqrt{6}=20 \sqrt{6}+40 \sqrt{2}$海里
∵$40+40\sqrt{2}＜20\sqrt{6}+40\sqrt{2}$
∴甲货轮先到达C港
解:过点B作BE⊥AC，垂足为E
在Rt△ABE中，∠BAE=90°-45°=45°，AB=40海里
∴$AE=AB\cdot cos45°=40×\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$海里
$BE=AB\cdot sin45°=40×\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$海里
在Rt△BCE中，∠CBE=60°
∴$ CE=BE\cdot tan60°=20\sqrt{2}×\sqrt{3}=20\sqrt{6}$海里
∴$AC=AE+CE=20\sqrt{2}+20\sqrt{6}$海里
∵DF//AG
∴ ∠GAD=∠ADF=60°
∵∠CDF=30°，
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°
在Rt△ACD中，∠CAD=90°-∠GAD=30°
∴$CD=\frac{1}{2}AC=(10\sqrt{2}+10\sqrt{6}$海里，
$AD=\sqrt{3}CD=(10\sqrt{6}+30\sqrt{2})$海里
在Rt△BCE中$,∠CBE=60°,BE=20\sqrt{2}$海里
∴$BC=\frac{BE}{cos60°}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac12}=40 \sqrt{2}$海里
∴ 甲货轮航行的路程$=AB+BC=40+40\sqrt{2}$海里
乙货轮航行的路程$=AD+CD=10\sqrt{6}+30 \sqrt{2}+10\sqrt{2}+$
$10\sqrt{6}=20 \sqrt{6}+40 \sqrt{2}$海里
∵$40+40\sqrt{2}＜20\sqrt{6}+40\sqrt{2}$
∴甲货轮先到达C港
6. 某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)的示意图如图①，摄像头 $ A $ 的仰角、俯角均为 $ 15^{\circ} $，摄像头距离地面的高度 $ OA = 160 \mathrm{~cm} $，识别的最远水平距离 $ OB = 150 \mathrm{~cm} $.
(1)小杜的身高为 $ 208 \mathrm{~cm} $，头部高度为 $ 26 \mathrm{~cm} $，他站在和摄像头水平距离为 $ 130 \mathrm{~cm} $ 的点 $ C $ 处，小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
(2)小若的身高为 $ 118 \mathrm{~cm} $，头部高度为 $ 15 \mathrm{~cm} $，踮起脚尖后增高 $ 5 \mathrm{~cm} $，但仍无法被识别.社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为 $ 20^{\circ} $(图②)，此时小若能被识别吗？为什么？(精确到 $ 0.1 \mathrm{~cm} $；参考数据：$ \sin 15^{\circ} \approx 0.26 $，$ \cos 15^{\circ} \approx 0.97 $，$ \tan 15^{\circ} \approx 0.27 $，$ \sin 20^{\circ} \approx 0.34 $，$ \cos 20^{\circ} \approx 0.94 $，$ \tan 20^{\circ} \approx 0.36 $)
(1)小杜的身高为 $ 208 \mathrm{~cm} $，头部高度为 $ 26 \mathrm{~cm} $，他站在和摄像头水平距离为 $ 130 \mathrm{~cm} $ 的点 $ C $ 处，小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
(2)小若的身高为 $ 118 \mathrm{~cm} $，头部高度为 $ 15 \mathrm{~cm} $，踮起脚尖后增高 $ 5 \mathrm{~cm} $，但仍无法被识别.社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为 $ 20^{\circ} $(图②)，此时小若能被识别吗？为什么？(精确到 $ 0.1 \mathrm{~cm} $；参考数据：$ \sin 15^{\circ} \approx 0.26 $，$ \cos 15^{\circ} \approx 0.97 $，$ \tan 15^{\circ} \approx 0.27 $，$ \sin 20^{\circ} \approx 0.34 $，$ \cos 20^{\circ} \approx 0.94 $，$ \tan 20^{\circ} \approx 0.36 $)
答案：
解：(1)如答图1，过点C作OB的垂线,
分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F.
在Rt△AEF 中，$tan∠EAF=\frac {EF}{AF}$
所以$EF=AF×tan 15°≈130×0.27= 35.1(\ \mathrm {cm}). $
因为AF=AF，∠EAF=∠DAF，∠AFE=∠AFD= 90°，
所以$△ADF≌△AEF(\mathrm {ASA})，$
所以$EF= DF=35.1\ \mathrm {cm}，$
所以$CE=160+35.1=195.1(\ \mathrm {cm})，$
$ED=35.1×2=70.2(\ \mathrm {cm})\gt 26\ \mathrm {cm}，$
所以小杜下蹲的最小距离为$208-195. 1=12. 9(\ \mathrm {cm}).$
(2)如答图2，过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N.
交水平线于点P.
在Rt△APM中，$tan∠MAP =\frac {MP}{AP}$
所以$MP=AP×tan 20°≈150×0.36= 54. 0(\ \mathrm {cm}).$
因为AP= AP，∠MAP=∠NAP，∠APM=∠APN=90°，
所以$△AMP≌△ANP(\mathrm {ASA})，$
所以$PN= MP= 54.0\ \mathrm {cm}，$
所以$BN= 160- 54.0= 106.0(\ \mathrm {cm}).$
小若垫起脚尖后头顶的高度为$120+3= 123(\ \mathrm {cm})，$
所以小若头顶超出点N的高度$= 123- 106. 0= 17.0(\ \mathrm {cm})\gt 15(\ \mathrm {cm})，$
所以小若垫起脚尖后能被识别.
解：(1)如答图1，过点C作OB的垂线,
分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F.
在Rt△AEF 中，$tan∠EAF=\frac {EF}{AF}$
所以$EF=AF×tan 15°≈130×0.27= 35.1(\ \mathrm {cm}). $
因为AF=AF，∠EAF=∠DAF，∠AFE=∠AFD= 90°，
所以$△ADF≌△AEF(\mathrm {ASA})，$
所以$EF= DF=35.1\ \mathrm {cm}，$
所以$CE=160+35.1=195.1(\ \mathrm {cm})，$
$ED=35.1×2=70.2(\ \mathrm {cm})\gt 26\ \mathrm {cm}，$
所以小杜下蹲的最小距离为$208-195. 1=12. 9(\ \mathrm {cm}).$
(2)如答图2，过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N.
交水平线于点P.
在Rt△APM中，$tan∠MAP =\frac {MP}{AP}$
所以$MP=AP×tan 20°≈150×0.36= 54. 0(\ \mathrm {cm}).$
因为AP= AP，∠MAP=∠NAP，∠APM=∠APN=90°，
所以$△AMP≌△ANP(\mathrm {ASA})，$
所以$PN= MP= 54.0\ \mathrm {cm}，$
所以$BN= 160- 54.0= 106.0(\ \mathrm {cm}).$
小若垫起脚尖后头顶的高度为$120+3= 123(\ \mathrm {cm})，$
所以小若头顶超出点N的高度$= 123- 106. 0= 17.0(\ \mathrm {cm})\gt 15(\ \mathrm {cm})，$
所以小若垫起脚尖后能被识别.