例 1 如图 7.6.5①，棱长为 9 cm 的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度 $ BM = 7 \mathrm{cm} $.将此正方体放在坡角为 $ \alpha $的斜坡上，其主视图如图②所示，此时点 $ M $与点 $ A $重合，则 $ \tan \alpha = $
$\frac{4}{9}$
.答案：例1 $\frac{4}{9}$.
解析：
解：正方体棱长为9cm，初始水面高度$BM = 7\mathrm{cm}$，则$AM=AB - BM=9 - 7=2\mathrm{cm}$。
当正方体放在斜坡上，点$M$与点$A$重合，此时水面形状为平行四边形$ABCN$。
水的体积不变，初始水的体积为底面积乘以高，即$9×9×7$。
放置斜坡后，水的体积可表示为平行四边形$ABCN$的面积乘以正方体棱长（垂直于主视图方向的棱长），设$BN = x$，则平行四边形$ABCN$的面积为$AB× BN\sin\alpha = 9x\sin\alpha$，故$9x\sin\alpha×9=9×9×7$，得$x\sin\alpha=7$。
在$\triangle ABN$中，$AN = AM = 2\mathrm{cm}$，由勾股定理$AN^2=AB^2 + BN^2 - 2AB· BN\cos\alpha$，即$2^2=9^2 + x^2 - 2×9x\cos\alpha$。
又因为$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1$，联立解得$\tan\alpha=\frac{4}{9}$。
$\frac{4}{9}$
当正方体放在斜坡上，点$M$与点$A$重合，此时水面形状为平行四边形$ABCN$。
水的体积不变，初始水的体积为底面积乘以高，即$9×9×7$。
放置斜坡后，水的体积可表示为平行四边形$ABCN$的面积乘以正方体棱长（垂直于主视图方向的棱长），设$BN = x$，则平行四边形$ABCN$的面积为$AB× BN\sin\alpha = 9x\sin\alpha$，故$9x\sin\alpha×9=9×9×7$，得$x\sin\alpha=7$。
在$\triangle ABN$中，$AN = AM = 2\mathrm{cm}$，由勾股定理$AN^2=AB^2 + BN^2 - 2AB· BN\cos\alpha$，即$2^2=9^2 + x^2 - 2×9x\cos\alpha$。
又因为$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1$，联立解得$\tan\alpha=\frac{4}{9}$。
$\frac{4}{9}$
例 2 如图 7.6.6，小宇用测角仪测量公园山坡上一个信号杆的高度，他在坡面 $ FB $上的点 $ D $处安装测角仪 $ DE $，测得信号杆顶端 $ A $的仰角 $ \alpha $为 $ 45^{\circ} $，$ DE $与坡面的夹角 $ \beta $为 $ 72.5^{\circ} $，点 $ D $与信号杆底端 $ B $之间的距离 $ DB = 22 \mathrm{m} $.已知 $ DE = 1.7 \mathrm{m} $，点 $ A $、$ B $、$ C $在同一条直线上，$ AB $、$ DE $均与水平线 $ FC $垂直.求信号杆 $ AB $的高.(参考数据：$ \sin 72.5^{\circ} \approx 0.95 $，$ \cos 72.5^{\circ} \approx 0.30 $，$ \tan 72.5^{\circ} \approx 3.17 $)
答案：例2 16 m.
解析：
解：过点$E$作$EG ⊥ AC$于点$G$，过点$D$作$DH ⊥ EG$于点$H$。
因为$DE$与坡面$FB$的夹角$\beta = 72.5^{\circ}$，$DE = 1.7\,\mathrm{m}$，所以$EH = DE · \cos \beta \approx 1.7 × 0.30 = 0.51\,\mathrm{m}$，$DH = DE · \sin \beta \approx 1.7 × 0.95 = 1.615\,\mathrm{m}$。
因为$DB = 22\,\mathrm{m}$，所以$EG = DH + BC$，$BG = EH + DC$，又因为$DC = DB · \cos \beta \approx 22 × 0.30 = 6.6\,\mathrm{m}$，$BC = DB · \sin \beta \approx 22 × 0.95 = 20.9\,\mathrm{m}$，所以$EG = 1.615 + 20.9 = 22.515\,\mathrm{m}$，$BG = 0.51 + 6.6 = 7.11\,\mathrm{m}$。
在$Rt\triangle AEG$中，$\alpha = 45^{\circ}$，所以$AG = EG \approx 22.515\,\mathrm{m}$。
则$AB = AG - BG \approx 22.515 - 7.11 = 15.405\,\mathrm{m} \approx 16\,\mathrm{m}$。
答：信号杆$AB$的高约为$16\,\mathrm{m}$。
因为$DE$与坡面$FB$的夹角$\beta = 72.5^{\circ}$，$DE = 1.7\,\mathrm{m}$，所以$EH = DE · \cos \beta \approx 1.7 × 0.30 = 0.51\,\mathrm{m}$，$DH = DE · \sin \beta \approx 1.7 × 0.95 = 1.615\,\mathrm{m}$。
因为$DB = 22\,\mathrm{m}$，所以$EG = DH + BC$，$BG = EH + DC$，又因为$DC = DB · \cos \beta \approx 22 × 0.30 = 6.6\,\mathrm{m}$，$BC = DB · \sin \beta \approx 22 × 0.95 = 20.9\,\mathrm{m}$，所以$EG = 1.615 + 20.9 = 22.515\,\mathrm{m}$，$BG = 0.51 + 6.6 = 7.11\,\mathrm{m}$。
在$Rt\triangle AEG$中，$\alpha = 45^{\circ}$，所以$AG = EG \approx 22.515\,\mathrm{m}$。
则$AB = AG - BG \approx 22.515 - 7.11 = 15.405\,\mathrm{m} \approx 16\,\mathrm{m}$。
答：信号杆$AB$的高约为$16\,\mathrm{m}$。
1. 已知一斜面的坡角等于 $ 30^{\circ} $，该斜面的坡度是
$1:\sqrt{3}$
.答案：1. $1:\sqrt{3}$.
2. 一条上山斜坡的坡度为 $ 1:7 $，沿这条斜坡上山，每前进 $ 100 \mathrm{m} $上升的高度为
$10\sqrt{2}$
m.答案：1：$\sqrt{3}$
$10\sqrt{2}$
$10\sqrt{2}$
3. 若沿着山坡每前进 $ 100 \mathrm{m} $，相应地升高 $ 80 \mathrm{m} $，则山坡的坡度为
$1:0.75$
.答案：4:3