3. 若$\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则锐角$\alpha =$
$45^{\circ}$
；若$\tan (\beta - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$，则锐角$\beta =$$60^{\circ}$
.答案：45°
60°
60°
4. 在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，若$AC = 100$，$\sin A = \frac{3}{5}$，则$AB =$
80
.答案：80
5. 如图，已知等边三角形$ABC$内接于$\odot O$，$D$是劣弧$BC$上一点，则$\sin \angle ADB =$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
.答案：$\frac {\sqrt{3}}{2}$
6. 如图，交警在高速公路上$A$处操控无人机巡查，无人机从$A$处飞行到$P$处悬停，探测到它正下方的公路上$B$处有汽车发生故障.已知$A$处到$P$处的距离为$500\ \mathrm{m}$，从$A$处观测$P$处的仰角为$\alpha$，且$\cos \alpha = 0.98$，则$A$处到$B$处的距离为
490
$\mathrm{m}$.答案：6.490
解析：
解：在直角三角形$ABP$中，$\angle ABP = 90°$，$AP = 500\ \mathrm{m}$，$\cos\alpha = 0.98$。
因为$\cos\alpha=\frac{AB}{AP}$，所以$AB = AP·\cos\alpha = 500×0.98 = 490\ \mathrm{m}$。
490
因为$\cos\alpha=\frac{AB}{AP}$，所以$AB = AP·\cos\alpha = 500×0.98 = 490\ \mathrm{m}$。
490
7. 计算：
（1）$\sqrt{3} \tan 30^{\circ} + (3 - \pi)^0 + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt{18}$；
（2）$\cos 60^{\circ} - 2 \sin^2 45^{\circ} + \frac{2}{3} \tan^2 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}$.
（1）$\sqrt{3} \tan 30^{\circ} + (3 - \pi)^0 + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt{18}$；
（2）$\cos 60^{\circ} - 2 \sin^2 45^{\circ} + \frac{2}{3} \tan^2 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}$.
答案：7.(1)$1 - 2\sqrt{2}$;(2)1
解析：
（1）$\sqrt{3} \tan 30^{\circ} + (3 - \pi)^0 + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt{18}$
$=\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} + 1 + (\sqrt{2} - 1) - 3\sqrt{2}$
$=1 + 1 + \sqrt{2} - 1 - 3\sqrt{2}$
$=1 - 2\sqrt{2}$
（2）$\cos 60^{\circ} - 2 \sin^2 45^{\circ} + \frac{2}{3} \tan^2 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}$
$=\frac{1}{2} - 2 × (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{2}{3} × (\sqrt{3})^2 - \frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2} - 2 × \frac{1}{2} + \frac{2}{3} × 3 - \frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2} - 1 + 2 - \frac{1}{2}$
$=1$
$=\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} + 1 + (\sqrt{2} - 1) - 3\sqrt{2}$
$=1 + 1 + \sqrt{2} - 1 - 3\sqrt{2}$
$=1 - 2\sqrt{2}$
（2）$\cos 60^{\circ} - 2 \sin^2 45^{\circ} + \frac{2}{3} \tan^2 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}$
$=\frac{1}{2} - 2 × (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{2}{3} × (\sqrt{3})^2 - \frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2} - 2 × \frac{1}{2} + \frac{2}{3} × 3 - \frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2} - 1 + 2 - \frac{1}{2}$
$=1$
8. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，请根据下列条件解直角三角形.
（1）$\angle A = 30^{\circ}$，$a = 4\sqrt{3}$；
（2）$a = 6\sqrt{2}$，$c = 12$.
（1）$\angle A = 30^{\circ}$，$a = 4\sqrt{3}$；
（2）$a = 6\sqrt{2}$，$c = 12$.
答案：解： (1)在Rt△ABC中
因为∠A=30°，∠C=90°，∠B=60°
因为$a=4\sqrt{3}$
所以$b=\frac {a}{tan{30}°}=12，$$c=\frac {a}{sin{30}°}=8\sqrt{3}$
(2)在Rt△ABC中
因为$a= 6\sqrt{2}，$c=12，∠C = 90°
所以$b=\sqrt{c²-a²}= 6\sqrt{2}$
所以$sinA=\frac {a}{c}=\frac {\sqrt{2}}{2}，$$sinB=\frac {b}{c}=\frac {\sqrt{2}}{2}$
所以∠A=45°，∠B=45°
因为∠A=30°，∠C=90°，∠B=60°
因为$a=4\sqrt{3}$
所以$b=\frac {a}{tan{30}°}=12，$$c=\frac {a}{sin{30}°}=8\sqrt{3}$
(2)在Rt△ABC中
因为$a= 6\sqrt{2}，$c=12，∠C = 90°
所以$b=\sqrt{c²-a²}= 6\sqrt{2}$
所以$sinA=\frac {a}{c}=\frac {\sqrt{2}}{2}，$$sinB=\frac {b}{c}=\frac {\sqrt{2}}{2}$
所以∠A=45°，∠B=45°
9. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 30^{\circ}$，点$D$在$AC$上，$DB ⊥ BC$，垂足为$B$，$AD:DC = 1:2$.求$\tan \angle ABD$.
答案：
解:过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E ，如图所示
因为DB⊥BC， AE⊥DB
所以AE//BC，∠AED=∠DBC= 90°
所以∠EAD=∠C=30°，
所以△ADE∽△CDB
因为$\frac {AD}{DC}=\frac {1}{2}$
所以$\frac {AE}{BC}=\frac {DE}{DB}=\frac {1}{2}$
设DE=x ，则DB=2x， BE=3x
在Rt△ADE中
因为∠EAD=30°， DE=x
所以$AE=\sqrt{3}x$
所以$tan∠ABD=\frac {AE}{BE}=\frac {\sqrt{3}x}{3x}=\frac {\sqrt{3}}{3}$
解:过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E ，如图所示
因为DB⊥BC， AE⊥DB
所以AE//BC，∠AED=∠DBC= 90°
所以∠EAD=∠C=30°，
所以△ADE∽△CDB
因为$\frac {AD}{DC}=\frac {1}{2}$
所以$\frac {AE}{BC}=\frac {DE}{DB}=\frac {1}{2}$
设DE=x ，则DB=2x， BE=3x
在Rt△ADE中
因为∠EAD=30°， DE=x
所以$AE=\sqrt{3}x$
所以$tan∠ABD=\frac {AE}{BE}=\frac {\sqrt{3}x}{3x}=\frac {\sqrt{3}}{3}$