15. （12分）如图，二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} + bx - 2 $ 的图像与 $ x $ 轴交于点 $ A $、$ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，其中点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,0) $.
（1）求这个二次函数的表达式及顶点 $ D $ 的坐标；
（2）判断 $ \triangle ABC $ 的形状，证明你的结论.
（1）求这个二次函数的表达式及顶点 $ D $ 的坐标；
（2）判断 $ \triangle ABC $ 的形状，证明你的结论.
答案：
令$y=0，$$$得$0=\frac 12x^2-\frac 32x-2$
解得$x_{1}=-1，$$x_{2}=4$
∴$A(-1，$$0)、$$B(4，$$0)$
∴$AB=5$
令$x=0，$$$得$y=-2$
∴$C(0，$$-2)$
∴$AC=\sqrt {1^2+2^2}=\sqrt 5，$
$BC=\sqrt {4^2+2^2}=2\sqrt 5$
∵$AC^2+BC^2=AB^2$
∴$△ABC$是直角三角形
解：$(1)$将点$A(-1，$$0)$代入二次函数表达式，得$0=\frac 12×(-1)^2-b-2$
解得$b=-\frac 32$
∴这个二次函数的表达式为$y=\frac 12x^2-\frac 32x-2$
∵$y=\frac 12x^2-\frac 32x-2=\frac 12(x-\frac 32)^2-\frac {25}{8}$
∴顶点$D$的坐标为$(\frac 32，$$-\frac {25}{8})$
$(2)△ABC$是直角三角形，证明如下：$ $ 令$y=0，$$$得$0=\frac 12x^2-\frac 32x-2$
解得$x_{1}=-1，$$x_{2}=4$
∴$A(-1，$$0)、$$B(4，$$0)$
∴$AB=5$
令$x=0，$$$得$y=-2$
∴$C(0，$$-2)$
∴$AC=\sqrt {1^2+2^2}=\sqrt 5，$
$BC=\sqrt {4^2+2^2}=2\sqrt 5$
∵$AC^2+BC^2=AB^2$
∴$△ABC$是直角三角形
16. （13分）如图，一次函数 $ y = 3x + 3 $ 的图像与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图像经过点 $ A $、$ B $、$ C $，且点 $ C $ 的坐标为 $ (3,0) $.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）在这个二次函数图像的对称轴上是否存在点 $ Q $，使 $ \triangle ABQ $ 是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点 $ Q $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）在这个二次函数图像的对称轴上是否存在点 $ Q $，使 $ \triangle ABQ $ 是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点 $ Q $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：解：(1)对于一次函数y=3x+3
当y=0时，3x+3=0，解得x=-1
∴A(-1，0)
当x=0时，y=3
∴B(0，3)
将点A(-1，0)、B(0，3)代入得$\begin{cases}{0=a-b+c}\\{3=c}\\{0=9a+3b+c}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{cases}$
∴这个二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$
(2)存在，点Q的坐标分别为(1，$\sqrt 6)、$(1，$-\sqrt 6)、$(1，0)、(1，1)
当y=0时，3x+3=0，解得x=-1
∴A(-1，0)
当x=0时，y=3
∴B(0，3)
将点A(-1，0)、B(0，3)代入得$\begin{cases}{0=a-b+c}\\{3=c}\\{0=9a+3b+c}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{cases}$
∴这个二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$
(2)存在，点Q的坐标分别为(1，$\sqrt 6)、$(1，$-\sqrt 6)、$(1，0)、(1，1)
17. （11分）已知函数 $ y = mx^{2} - 6x + 1 $（$ m $ 是常数）.
（1）求证：不论 $ m $ 为何值，该函数的图像都经过 $ y $ 轴上的一个定点；
（2）若这个函数的图像与 $ x $ 轴只有一个公共点，求 $ m $ 的值.
（1）求证：不论 $ m $ 为何值，该函数的图像都经过 $ y $ 轴上的一个定点；
（2）若这个函数的图像与 $ x $ 轴只有一个公共点，求 $ m $ 的值.
答案：(1)证明：当x=0时，y=1
∴不论m 为何值，函数$y=mx^2-6x+1$的图像经过y轴上的一个定点(0，1)
(2)①当m=0时，函数y=-6x+1的图像与x轴只有一个公共点
②当m≠0时，若二次函数$y=mx^2-6x+1$的图像与x轴只有一个公共点
则方程$mx^2-6x+1=0$有两个相等的实数根
∴$(-6)^2-4m=0$
m=9
综上所述，m 的值为0或9
∴不论m 为何值，函数$y=mx^2-6x+1$的图像经过y轴上的一个定点(0，1)
(2)①当m=0时，函数y=-6x+1的图像与x轴只有一个公共点
②当m≠0时，若二次函数$y=mx^2-6x+1$的图像与x轴只有一个公共点
则方程$mx^2-6x+1=0$有两个相等的实数根
∴$(-6)^2-4m=0$
m=9
综上所述，m 的值为0或9