16. 图①、②中的两个等腰直角三角形全等，图①中的小正方形面积是9，则图②中的小正方形面积是(
A.12
B.8
C.9
D.10
B
).A.12
B.8
C.9
D.10
答案：B
17. （6分）如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\angle BAD = \angle CAE$，$\angle ABC = \angle ADE$.
（1）写出图中两对相似三角形（不添加辅助线和字母）；
（2）求证：$\angle ABE = \angle ACE$.
（1）写出图中两对相似三角形（不添加辅助线和字母）；
（2）求证：$\angle ABE = \angle ACE$.
答案：解：(1)△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE
(2)证明：∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE
∵∠ABC=∠ADE
∴△ABC∽△ADE
∴$\frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AE}$
∵∠BAD=∠CAE
∴△BAD∽△CAE
∴∠ABE=∠ACE
(2)证明：∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE
∵∠ABC=∠ADE
∴△ABC∽△ADE
∴$\frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AE}$
∵∠BAD=∠CAE
∴△BAD∽△CAE
∴∠ABE=∠ACE
18. （6分）如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 4$，$BC = 6$，$M$是$BC$的中点，$DE⊥ AM$，垂足为$E$.
（1）求$\triangle ABM$的面积；
（2）求$DE$的长；
（3）求$\triangle ADE$的面积.
（1）求$\triangle ABM$的面积；
（2）求$DE$的长；
（3）求$\triangle ADE$的面积.
答案：解：$(1)$∵$BC=6，$点$M$是$BC$的中点
∴$BM=\frac 12BC=3$
∵$AB=4$
∴$S_{△ABM}=\frac 12×AB×BM=6$
解$:(2)$∵四边形$ABCD$是矩形$ $
∴$AD//BC，$$∠B=90°$
∴$∠DAE=∠AMB$
∵$DE⊥AM$
∴$∠DEA=∠B=90°$
∵$∠DAE=∠AMB，$$∠DEA=∠B$
∴$△ADE∽△AMB$
∴$\frac {DE}{DA}=\frac {AB}{AM}$
在$Rt△ABM$中，
∵$AB=4，$$BM=3$
∴$AM=\sqrt {AB^2+BM^2}=5$
∵$DA=BC=6$
∴$\frac {DE}{6}=\frac 45$
∴$DE=\frac {24}{5}$
解$:(3)$在$Rt△ADE$中，
∵$DA=6，$$DE=\frac {24}{5} $
∴$AE=\sqrt {DA^2-DE^2}=\frac {18}{5}$
∴$S_{△ADE}=\frac 12×AE×DE=\frac {216}{25}$
∴$BM=\frac 12BC=3$
∵$AB=4$
∴$S_{△ABM}=\frac 12×AB×BM=6$
解$:(2)$∵四边形$ABCD$是矩形$ $
∴$AD//BC，$$∠B=90°$
∴$∠DAE=∠AMB$
∵$DE⊥AM$
∴$∠DEA=∠B=90°$
∵$∠DAE=∠AMB，$$∠DEA=∠B$
∴$△ADE∽△AMB$
∴$\frac {DE}{DA}=\frac {AB}{AM}$
在$Rt△ABM$中，
∵$AB=4，$$BM=3$
∴$AM=\sqrt {AB^2+BM^2}=5$
∵$DA=BC=6$
∴$\frac {DE}{6}=\frac 45$
∴$DE=\frac {24}{5}$
解$:(3)$在$Rt△ADE$中，
∵$DA=6，$$DE=\frac {24}{5} $
∴$AE=\sqrt {DA^2-DE^2}=\frac {18}{5}$
∴$S_{△ADE}=\frac 12×AE×DE=\frac {216}{25}$
19. (8分)如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在边$AC$上，且$CD = 2DA$，$\angle BAC = 45^{\circ}$，$\angle BDC = 60^{\circ}$，$CE⊥ BD$，垂足为$E$.
(1)图中的相等线段有：
(2)写出图中一对相似的三角形并证明.
(3)求$\triangle BEC$与$\triangle BEA$的面积之比.
(1)图中的相等线段有：
$DE=DA$，$EA=EB=EC$
.(2)写出图中一对相似的三角形并证明.
(3)求$\triangle BEC$与$\triangle BEA$的面积之比.
答案：
(1)DE=DA，EA=EB=EC
解： (2) △ADE∽△AEC，证明如下：
在Rt△CDE中，∵∠BDC=60°
∴∠DCE=30°
∴CD=2DE
∵CD=2DA
∴DE=DA
∴∠DEA=∠DAE
∵∠DEA+∠DAE=∠BDC= 60°
∴∠DEA=∠DAE=30°
∵∠DEA=∠ACE，∠DAE=∠CAE
∴△ADE∽△AEC
解:(3)过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于点F，
如图所示
∵$S_{△BEC}$：$S_{△BEA}=\frac 12BE×CE$：$\frac 12BE×AF=CE$：AF
又
∵$S_{△CDE}$：$S_{△ADE}=\frac 12DE×CE$：$\frac 12DE×AF=CE$：AF
∴$S_{△BEC}$：$S_{△BEA}=S_{△CDE}$：$S_{△ADE}=CD$：DA
∵CD=2DA
∴$S_{△BEC}$：$S_{△BEA}=2$：1
(1)DE=DA，EA=EB=EC
解： (2) △ADE∽△AEC，证明如下：
在Rt△CDE中，∵∠BDC=60°
∴∠DCE=30°
∴CD=2DE
∵CD=2DA
∴DE=DA
∴∠DEA=∠DAE
∵∠DEA+∠DAE=∠BDC= 60°
∴∠DEA=∠DAE=30°
∵∠DEA=∠ACE，∠DAE=∠CAE
∴△ADE∽△AEC
解:(3)过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于点F，
如图所示
∵$S_{△BEC}$：$S_{△BEA}=\frac 12BE×CE$：$\frac 12BE×AF=CE$：AF
又
∵$S_{△CDE}$：$S_{△ADE}=\frac 12DE×CE$：$\frac 12DE×AF=CE$：AF
∴$S_{△BEC}$：$S_{△BEA}=S_{△CDE}$：$S_{△ADE}=CD$：DA
∵CD=2DA
∴$S_{△BEC}$：$S_{△BEA}=2$：1