9. 已知二次函数 $ y = mx^{2}+(m - 3)x - 1 $.
(1) 求证：不论 $ m $ 取何值，这个二次函数的图像都与 $ x $ 轴有两个公共点.
(2) 当 $ m = \frac{9}{2} $ 时，这个二次函数的图像与 $ x $ 轴交于 $ A $、$ B $ 两点，求线段 $ AB $ 的长.
(3) 设第(2)题中抛物线的顶点为 $ P $，求 $ \triangle ABP $ 的面积.
(1) 求证：不论 $ m $ 取何值，这个二次函数的图像都与 $ x $ 轴有两个公共点.
(2) 当 $ m = \frac{9}{2} $ 时，这个二次函数的图像与 $ x $ 轴交于 $ A $、$ B $ 两点，求线段 $ AB $ 的长.
(3) 设第(2)题中抛物线的顶点为 $ P $，求 $ \triangle ABP $ 的面积.
答案：证明:(1)∵判别式$b^2-4ac=(m-3)^2-4\ \mathrm {m}×(-1)=(m-1)^2+8\gt 0$
∴不论m 取何值，二次函数的图像都与x轴交于两点
(2) 当$m=\frac {9}{2} $时，$y=\frac 92x^2+\frac 32x-1$
令y=0，$\frac 92x^2+\frac 32x-1=0$
$x_1=-\frac 23 ，$$x_2=\frac 13 $
∴两个交点的坐标分别是$(-\frac {2}{3}，$0)、$ (\frac {1}{3}，$0)
∴线段AB的长为1
(3) 由(2)中抛物线顶点P 的坐标为$(- \frac {1}{6}，$$- \frac {9}{8} )$
∴△ABP 的面积是$ \frac {1}{2} ×1× \frac {9}{8}=\frac {9}{16}$
∴不论m 取何值，二次函数的图像都与x轴交于两点
(2) 当$m=\frac {9}{2} $时，$y=\frac 92x^2+\frac 32x-1$
令y=0，$\frac 92x^2+\frac 32x-1=0$
$x_1=-\frac 23 ，$$x_2=\frac 13 $
∴两个交点的坐标分别是$(-\frac {2}{3}，$0)、$ (\frac {1}{3}，$0)
∴线段AB的长为1
(3) 由(2)中抛物线顶点P 的坐标为$(- \frac {1}{6}，$$- \frac {9}{8} )$
∴△ABP 的面积是$ \frac {1}{2} ×1× \frac {9}{8}=\frac {9}{16}$
10. 已知二次函数 $ y = x^{2}-x - 1 $ 的图像与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (m,0) $，则代数式 $ 2m^{2}-2m + 1 $ 的值为
3
.答案：2018
11. 我们知道，一元二次方程 $ -x^{2}+2x + 3 = 0 $ 的根是二次函数 $ y = -x^{2}+2x + 3 $ 的图像与 $ x $ 轴交点的横坐标：$ x_{1} = -1 $，$ x_{2} = 3 $. 观察图像可知，不等式 $ -x^{2}+2x + 3 ＞ 0 $ 的解集是 $ x $ 轴上方的图像所对应的 $ x $ 的值，即 $ -1 ＜ x ＜ 3 $，不等式 $ -x^{2}+2x + 3 ＜ 0 $ 的解集是 $ x $ 轴下方的图像所对应的 $ x $ 的值，即 $ x ＞ 3 $ 或 $ x ＜ -1 $. 利用二次函数的图像可以求某些一元二次不等式的解集. 再如，不等式 $ -x^{2}+2x + 3 ＞ 2 $ 的解集可以利用函数 $ y = -x^{2}+2x + 3 $ 的图像来求. 它可以看作过点 $ (0,2) $ 且平行于 $ x $ 轴的直线上方的图像所对应的 $ x $ 的值，即 $ 1 - \sqrt{2} ＜ x ＜ 1 + \sqrt{2} $，还可将这个不等式化成 $ -x^{2}+2x + 1 ＞ 0 $，利用函数 $ y = -x^{2}+2x + 1 $ 的图像求解，即 $ x $ 轴上方的图像所对应的 $ x $ 的值.
用上述方法求不等式 $ 2x^{2}+3x - 2 ＞ 0 $ 的解集.
用上述方法求不等式 $ 2x^{2}+3x - 2 ＞ 0 $ 的解集.
答案：
解：如图所示
函数$y=2x^2+3x-2$在x轴上方的图像所对应的x值为
x＜-2或$x＞\frac 12$
∴不等式$2x^2+3x-2＞0$的解集为x＜-2或$x＞\frac 12$
解：如图所示
函数$y=2x^2+3x-2$在x轴上方的图像所对应的x值为
x＜-2或$x＞\frac 12$
∴不等式$2x^2+3x-2＞0$的解集为x＜-2或$x＞\frac 12$