15. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$CD$是斜边上的高.
(1) 若$BC = 6$，$AB = 10$，求$\tan A$、$\tan \angle ACD$的值；
(2) 若$AD:BD = 9:4$，求$\tan \angle BCD$的值.
]
(1) 若$BC = 6$，$AB = 10$，求$\tan A$、$\tan \angle ACD$的值；
(2) 若$AD:BD = 9:4$，求$\tan \angle BCD$的值.
]
答案：解：(1)在Rt△ABC中，∵BC=6，AB=10
∴$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=8$
∴$tan A=\frac {BC}{AC}=\frac 34$
∵CD是斜边上的高
∴∠CDB=∠ACB=90°
∴∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°
∴∠B=∠ACD
∴$tan ∠ACD=tan B=\frac {AC}{BC}=\frac 43$
(2)不妨设AD=9x，则BD=4x
∵∠ACD=∠B
∴90°-∠ACD=90°-∠B，即∠BCD=∠A
∴tan ∠BCD=tan A，即$\frac {BD}{CD}=\frac {CD}{AD}$
∴$CD^2=BD · AD$
∵AD=9x，BD=4x
∴CD=6x
∴$tan ∠BCD=\frac {BD}{CD}=\frac {4x}{6x}=\frac 23$
∴$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=8$
∴$tan A=\frac {BC}{AC}=\frac 34$
∵CD是斜边上的高
∴∠CDB=∠ACB=90°
∴∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°
∴∠B=∠ACD
∴$tan ∠ACD=tan B=\frac {AC}{BC}=\frac 43$
(2)不妨设AD=9x，则BD=4x
∵∠ACD=∠B
∴90°-∠ACD=90°-∠B，即∠BCD=∠A
∴tan ∠BCD=tan A，即$\frac {BD}{CD}=\frac {CD}{AD}$
∴$CD^2=BD · AD$
∵AD=9x，BD=4x
∴CD=6x
∴$tan ∠BCD=\frac {BD}{CD}=\frac {4x}{6x}=\frac 23$
16. 阅读下列材料：
如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，锐角$A$的对边与邻边的比叫做$\angle A$的正切，记作$\tan A$，即$\tan A = \frac{\angle A\mathrm{的对边}}{\angle A\mathrm{的邻边}} = \frac{a}{b}$；锐角$A$的邻边与对边的比叫做$\angle A$的余切，记作$\cot A$，即$\cot A = \frac{\angle A\mathrm{的邻边}}{\angle A\mathrm{的对边}} = \frac{b}{a}$. 由此可知，$\angle A$的正切与余切的关系为$\tan A· \cot A = 1$.
根据以上内容回答下列问题：
(1) 若$a = 1$，$b = 2$，则$\cot A =$
(2) 若$\tan A = \frac{2}{3}$，则$\cot A =$
(3) 不使用计算器，求$\cot 40^{\circ}· \cot 50^{\circ}$的值.
]
如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，锐角$A$的对边与邻边的比叫做$\angle A$的正切，记作$\tan A$，即$\tan A = \frac{\angle A\mathrm{的对边}}{\angle A\mathrm{的邻边}} = \frac{a}{b}$；锐角$A$的邻边与对边的比叫做$\angle A$的余切，记作$\cot A$，即$\cot A = \frac{\angle A\mathrm{的邻边}}{\angle A\mathrm{的对边}} = \frac{b}{a}$. 由此可知，$\angle A$的正切与余切的关系为$\tan A· \cot A = 1$.
根据以上内容回答下列问题：
(1) 若$a = 1$，$b = 2$，则$\cot A =$
2
，$\cot B =$$\frac{1}{2}$
；(2) 若$\tan A = \frac{2}{3}$，则$\cot A =$
$\frac{3}{2}$
；(3) 不使用计算器，求$\cot 40^{\circ}· \cot 50^{\circ}$的值.
]答案：2
$\frac {1}{2}$
$\frac {3}{2}$
解：(3)由题意得$cot 40° · cot 50°=\frac 1{tan 40°} · \frac 1{tan 50°}=\frac 1{tan_{40}° · tan 50°}$
∵tan 40° · tan 50°=1
∴cot 40° · cot 50°=1
$\frac {1}{2}$
$\frac {3}{2}$
解：(3)由题意得$cot 40° · cot 50°=\frac 1{tan 40°} · \frac 1{tan 50°}=\frac 1{tan_{40}° · tan 50°}$
∵tan 40° · tan 50°=1
∴cot 40° · cot 50°=1