解：解方程组$\begin{cases}x + 3y = 4 - a \\ x - y = 3a\end{cases}$，
两式相减得：$4y=4-4a$，$y=1 - a$，
代入$x - y = 3a$得：$x=3a + y=3a + 1 - a=2a + 1$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=2a + 1 \\ y=1 - a\end{cases}$。
①当$x=5$时，$2a + 1=5$，$a=2$，此时$y=1 - 2=-1$，但$a=2$不在$-3\leq a\leq1$范围内，故①错误。
②当$a=-2$时，$x=2×(-2)+1=-3$，$y=1 - (-2)=3$，$x + y=0$，互为相反数，故②正确。
③当$a=1$时，$x=3$，$y=0$，方程$x + y=4 - a$即$x + y=3$，$3 + 0=3$，成立，故③正确。
④若$x\leq1$，则$2a + 1\leq1$，$a\leq0$，又$-3\leq a\leq1$，所以$-3\leq a\leq0$，则$y=1 - a$，当$a=-3$时，$y=4$；当$a=0$时，$y=1$，所以$1\leq y\leq4$，故④正确。
综上，正确的是②③④，答案选C。

解不等式组：
1. 解$4x ＜ 6 + x$，移项得$4x - x ＜ 6$，即$3x ＜ 6$，解得$x ＜ 2$；
2. 解$x + 3 ＞ 2$，移项得$x ＞ 2 - 3$，解得$x ＞ -1$。
所以不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 2$，其最大整数解为$1$。
1

解：解不等式$3x - 2m ＜ x$，得$x ＜ m$。
因为不等式只有3个正整数解，所以这3个正整数解为1，2，3。
则$3 ＜ m \leq 4$。
$3 ＜ m \leq 4$

解：$\begin{cases}2x - y = 2k - 3, \\ x - 2y = k\end{cases}$
由$2x - y = 2k - 3$得$y = 2x - 2k + 3$，
代入$x - 2y = k$，得$x - 2(2x - 2k + 3) = k$，
$x - 4x + 4k - 6 = k$，
$-3x = -3k + 6$，
$x = k - 2$，
则$y = 2(k - 2) - 2k + 3 = 2k - 4 - 2k + 3 = -1$，
$x + y = k - 2 + (-1) = k - 3$，
因为$x + y \geq -5$，所以$k - 3 \geq -5$，
$k \geq -2$。
$k \geq -2$

设宿舍有$x$间，学生有$y$人。
根据题意，得$y = 4x + 21$。
因为每间住$6$人时，有一间宿舍不空也不满，所以$0 ＜ y - 6(x - 1) ＜ 6$。
将$y = 4x + 21$代入不等式，得$0 ＜ 4x + 21 - 6(x - 1) ＜ 6$。
解不等式：
$0 ＜ 4x + 21 - 6x + 6 ＜ 6$
$0 ＜ -2x + 27 ＜ 6$
$-27 ＜ -2x ＜ -21$
$\frac{21}{2} ＜ x ＜ \frac{27}{2}$
即$10.5 ＜ x ＜ 13.5$。
因为$x$为整数，所以$x$可取$11$，$12$，$13$。
所以宿舍最多有$13$间，最少有$11$间。
13；11