1. 下列用不等式表示不正确的是(
A.$a$ 是负数：$a\leqslant0$
B.$b$ 是非负数：$b\geqslant0$
C.$x$ 的一半小于 $-1$：$\frac{1}{2}x＜-1$
D.$y$ 与 $4$ 的和大于 $0.5$：$y + 4＞0.5$
A
)A.$a$ 是负数：$a\leqslant0$
B.$b$ 是非负数：$b\geqslant0$
C.$x$ 的一半小于 $-1$：$\frac{1}{2}x＜-1$
D.$y$ 与 $4$ 的和大于 $0.5$：$y + 4＞0.5$
答案：1.A
2. 若 $a＞b$，则下列不等式不一定成立的是(
A.$a + m＞b + m$
B.$a(m^{2}+1)＞b(m^{2}+1)$
C.$-\frac{a}{2}＜-\frac{b}{2}$
D.$a^{2}＞b^{2}$
D
)A.$a + m＞b + m$
B.$a(m^{2}+1)＞b(m^{2}+1)$
C.$-\frac{a}{2}＜-\frac{b}{2}$
D.$a^{2}＞b^{2}$
答案：2.D
解析：
A. 因为$a ＞ b$，两边同时加$m$，不等号方向不变，所以$a + m ＞ b + m$，一定成立。
B. 因为$m^2 + 1 ＞ 0$，$a ＞ b$，两边同时乘正数，不等号方向不变，所以$a(m^2 + 1) ＞ b(m^2 + 1)$，一定成立。
C. 因为$a ＞ b$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，所以$-\frac{a}{2} ＜ -\frac{b}{2}$，一定成立。
D. 当$a = 1$，$b = -2$时，$a ＞ b$，但$a^2 = 1$，$b^2 = 4$，此时$a^2 ＜ b^2$，所以$a^2 ＞ b^2$不一定成立。
D
B. 因为$m^2 + 1 ＞ 0$，$a ＞ b$，两边同时乘正数，不等号方向不变，所以$a(m^2 + 1) ＞ b(m^2 + 1)$，一定成立。
C. 因为$a ＞ b$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，所以$-\frac{a}{2} ＜ -\frac{b}{2}$，一定成立。
D. 当$a = 1$，$b = -2$时，$a ＞ b$，但$a^2 = 1$，$b^2 = 4$，此时$a^2 ＜ b^2$，所以$a^2 ＞ b^2$不一定成立。
D
3. 老师和同学们玩猜数游戏，老师在心里想一个 $100$ 以内的数 $x$，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错。甲问：“小于 $50$ 吗？”老师摇头，乙问：“不大于 $75$ 吗？”老师点头，丙问：“不小于 $60$ 吗？”老师点头，则老师心里想的数 $x$ 所在的范围是(
A.$50＜x\leqslant75$
B.$60\leqslant x\leqslant75$
C.$50＜x＜60$
D.$50\leqslant x＜60$
B
)A.$50＜x\leqslant75$
B.$60\leqslant x\leqslant75$
C.$50＜x＜60$
D.$50\leqslant x＜60$
答案：3.B
解析：
甲问“小于50吗？”老师摇头，可得$x\geq50$；乙问“不大于75吗？”老师点头，可得$x\leq75$；丙问“不小于60吗？”老师点头，可得$x\geq60$。综合可得$60\leq x\leq75$。
B
B
4. 已知关于 $x$ 的不等式 $3x - m + 1＞0$ 的最小整数解为 $2$，则实数 $m$ 的取值范围是(
A.$4\leqslant m＜7$
B.$4＜m＜7$
C.$4\leqslant m\leqslant7$
D.$4＜m\leqslant7$
A
)A.$4\leqslant m＜7$
B.$4＜m＜7$
C.$4\leqslant m\leqslant7$
D.$4＜m\leqslant7$
答案：4.A
解析：
解：解不等式$3x - m + 1＞0$，得$x＞\frac{m - 1}{3}$。
因为不等式的最小整数解为$2$，所以$1\leqslant\frac{m - 1}{3}＜2$。
解$1\leqslant\frac{m - 1}{3}$，得$m - 1\geqslant3$，$m\geqslant4$；
解$\frac{m - 1}{3}＜2$，得$m - 1＜6$，$m＜7$。
综上，$4\leqslant m＜7$。
A
因为不等式的最小整数解为$2$，所以$1\leqslant\frac{m - 1}{3}＜2$。
解$1\leqslant\frac{m - 1}{3}$，得$m - 1\geqslant3$，$m\geqslant4$；
解$\frac{m - 1}{3}＜2$，得$m - 1＜6$，$m＜7$。
综上，$4\leqslant m＜7$。
A
5. 不等式组$\begin{cases}x - 1＜0,\\-2x\leqslant4\end{cases}$的解集在数轴上可表示为( )
答案：5.A
解析：
解：解不等式$x - 1＜0$，得$x＜1$；
解不等式$-2x\leqslant4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x\geqslant -2$；
所以不等式组的解集为$-2\leqslant x＜1$。
在数轴上表示为：起点为$-2$（实心点），向右画，终点为$1$（空心点），对应选项A。
A
解不等式$-2x\leqslant4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x\geqslant -2$；
所以不等式组的解集为$-2\leqslant x＜1$。
在数轴上表示为：起点为$-2$（实心点），向右画，终点为$1$（空心点），对应选项A。
A
6. 若关于 $x$ 的不等式组$\begin{cases}3x - 3\leqslant6,\\x - a＜1\end{cases}$的最大整数解是 $2$，则实数 $a$ 的取值范围是( )
A.$1\leqslant a＜2$
B.$1＜a\leqslant2$
C.$2\leqslant a＜3$
D.$2＜a\leqslant3$
A.$1\leqslant a＜2$
B.$1＜a\leqslant2$
C.$2\leqslant a＜3$
D.$2＜a\leqslant3$
答案：6.B
解析：
解不等式组：
$\begin{cases}3x - 3 \leq 6 \\x - a ＜ 1\end{cases}$
解第一个不等式：
$3x - 3 \leq 6 \implies 3x \leq 9 \implies x \leq 3$
解第二个不等式：
$x - a ＜ 1 \implies x ＜ a + 1$
不等式组的解集为 $x \leq 3$ 且 $x ＜ a + 1$，即 $x ＜ a + 1$（因 $a + 1$ 需小于等于 3 才影响最大整数解）。
已知最大整数解是 2，故：
$2 ＜ a + 1 \leq 3 \implies 1 ＜ a \leq 2$
答案：B
$\begin{cases}3x - 3 \leq 6 \\x - a ＜ 1\end{cases}$
解第一个不等式：
$3x - 3 \leq 6 \implies 3x \leq 9 \implies x \leq 3$
解第二个不等式：
$x - a ＜ 1 \implies x ＜ a + 1$
不等式组的解集为 $x \leq 3$ 且 $x ＜ a + 1$，即 $x ＜ a + 1$（因 $a + 1$ 需小于等于 3 才影响最大整数解）。
已知最大整数解是 2，故：
$2 ＜ a + 1 \leq 3 \implies 1 ＜ a \leq 2$
答案：B
7. 定义$[x]$表示不大于 $x$ 的最大整数，例如：$[2.3]=2$，$[1]=1$，$[-1.2]=-2$。有下列结论：① 当$-1＜x＜1$时，$[1 + x]+[1 - x]$的值为 $1$；② $[a - 1]=[a]-1$；③ $a - 1＜[a]\leqslant a$；④ $x=-\frac{7}{3}$是方程 $3x - 2[x]+1=0$ 的唯一解。其中，正确的有(
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
B
)A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
答案：7.B
解析：
①当$-1 ＜ x ＜ 0$时，$0 ＜ 1+x ＜ 1$，$1 ＜ 1-x ＜ 2$，$[1+x]=0$，$[1-x]=1$，和为$1$；当$0 \leq x ＜ 1$时，$1 \leq 1+x ＜ 2$，$0 ＜ 1-x \leq 1$，$[1+x]=1$，$[1-x]=0$或$1$，当$x=0$时和为$2$，故①错误。
②设$a = n + f$，$n = [a]$，$0 \leq f ＜ 1$，$a - 1 = n - 1 + f$，$[a - 1] = n - 1 = [a] - 1$，故②正确。
③由定义，$[a]$是不大于$a$的最大整数，所以$[a] \leq a$，且$[a] ＞ a - 1$，即$a - 1 ＜ [a] \leq a$，故③正确。
④设$[x] = n$，方程$3x - 2n + 1 = 0$，$x = \frac{2n - 1}{3}$，$n \leq \frac{2n - 1}{3} ＜ n + 1$，解得$-4 ＜ n \leq -1$，$n=-3$时$x=-\frac{7}{3}$，$n=-2$时$x=- \frac{5}{3}$，$n=-1$时$x=-\frac{1}{3}$，经检验$x=-\frac{7}{3}$、$-\frac{5}{3}$是解，故④错误。
正确的有②③，共2个。
B
②设$a = n + f$，$n = [a]$，$0 \leq f ＜ 1$，$a - 1 = n - 1 + f$，$[a - 1] = n - 1 = [a] - 1$，故②正确。
③由定义，$[a]$是不大于$a$的最大整数，所以$[a] \leq a$，且$[a] ＞ a - 1$，即$a - 1 ＜ [a] \leq a$，故③正确。
④设$[x] = n$，方程$3x - 2n + 1 = 0$，$x = \frac{2n - 1}{3}$，$n \leq \frac{2n - 1}{3} ＜ n + 1$，解得$-4 ＜ n \leq -1$，$n=-3$时$x=-\frac{7}{3}$，$n=-2$时$x=- \frac{5}{3}$，$n=-1$时$x=-\frac{1}{3}$，经检验$x=-\frac{7}{3}$、$-\frac{5}{3}$是解，故④错误。
正确的有②③，共2个。
B
8. 已知 $x$ 的 $3$ 倍减 $5$ 的差是非负数，用不等式表示这一关系为
3x - 5≥0
。答案：8.3x - 5≥0
9. 如果 $2m$，$m$，$1 - m$ 在数轴上所对应的点从左往右依次排列，那么 $m$ 的取值范围是
m＜0
。答案：9.m＜0
解析：
由题意得：$2m ＜ m$且$m ＜ 1 - m$。
解$2m ＜ m$，移项得$2m - m ＜ 0$，即$m ＜ 0$。
解$m ＜ 1 - m$，移项得$m + m ＜ 1$，即$2m ＜ 1$，$m ＜ \frac{1}{2}$。
综合两个不等式的解，取交集得$m ＜ 0$。
$m ＜ 0$
解$2m ＜ m$，移项得$2m - m ＜ 0$，即$m ＜ 0$。
解$m ＜ 1 - m$，移项得$m + m ＜ 1$，即$2m ＜ 1$，$m ＜ \frac{1}{2}$。
综合两个不等式的解，取交集得$m ＜ 0$。
$m ＜ 0$
10. 小华家距离书店 $8\mathrm{km}$，他骑车前往书店购书。上午 $8:30$ 出发，以 $15\mathrm{km/h}$ 的速度骑行了 $x\mathrm{h}$ 后改成以 $18\mathrm{km/h}$ 的速度继续骑行，结果他在上午 $9:00$ 之前到了书店，则可列出不等式为
15x + 18($\frac{1}{2}$ - x)＞8
。答案：10.15x + 18($\frac{1}{2}$ - x)＞8
11. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组$\begin{cases}x - 1＞0,\\2x - a＞0\end{cases}$的解集是 $x＞1$，则 $a$ 的取值范围是 ______ 。
答案：11.a≤2
解析：
解不等式组：
解 $x - 1 ＞ 0$，得 $x ＞ 1$；
解 $2x - a ＞ 0$，得 $x ＞ \frac{a}{2}$。
因为不等式组的解集是 $x ＞ 1$，所以 $\frac{a}{2} \leq 1$，解得 $a \leq 2$。
$a \leq 2$
解 $x - 1 ＞ 0$，得 $x ＞ 1$；
解 $2x - a ＞ 0$，得 $x ＞ \frac{a}{2}$。
因为不等式组的解集是 $x ＞ 1$，所以 $\frac{a}{2} \leq 1$，解得 $a \leq 2$。
$a \leq 2$