1. (2024·广元)某服装店从工厂购进长、短两款服装进行销售，进货价和销售价如下表：
(1) 该服装店第一次用 4300 元购进长、短两款服装共 50 件，求两款服装分别购进的件数.
(2) 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共 200 件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于 16800 元. 问：该服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大利润？最大利润是多少？
(1) 该服装店第一次用 4300 元购进长、短两款服装共 50 件，求两款服装分别购进的件数.
(2) 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共 200 件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于 16800 元. 问：该服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大利润？最大利润是多少？
答案：1 (1) 设短款服装购进$x$件，长款服装购进$y$件.由题意，得$\begin{cases}x + y = 50,\\80x + 90y = 4300.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 20,\\y = 30.\end{cases}$
∴短款服装购进$20$件，长款服装购进$30$件 (2) 设第二次购进$m$件短款服装，则购进$(200 - m)$件长款服装.由题意，得$80m + 90(200 - m) \leq 16800$，解得$m \geq 120$.设利润为$w$元，则$w = (100 - 80)m + (120 - 90)(200 - m) = -10m + 6000$.
∵$-10 ＜ 0$，
∴$w$随$m$的增大而减小.
∴当$m = 120$时，$w$取得最大值，此时$w = -10 × 120 + 6000 = 4800$，$200 - m = 80$.
∴当购进$120$件短款服装，$80$件长款服装时，获得最大利润，最大利润是$4800$元
∴短款服装购进$20$件，长款服装购进$30$件 (2) 设第二次购进$m$件短款服装，则购进$(200 - m)$件长款服装.由题意，得$80m + 90(200 - m) \leq 16800$，解得$m \geq 120$.设利润为$w$元，则$w = (100 - 80)m + (120 - 90)(200 - m) = -10m + 6000$.
∵$-10 ＜ 0$，
∴$w$随$m$的增大而减小.
∴当$m = 120$时，$w$取得最大值，此时$w = -10 × 120 + 6000 = 4800$，$200 - m = 80$.
∴当购进$120$件短款服装，$80$件长款服装时，获得最大利润，最大利润是$4800$元
2. (2025·通州二模)某超市准备购进甲、乙两种商品共 80 件(其中甲商品不少于 15 件)，相关信息如下：
(1) 求 x 的值；
(2) 现该超市准备对甲商品每件优惠 a(1≤a≤9)元销售，乙商品的售价不变，则该超市应怎样选择进货方案，能使销售完这 80 件商品所获得的利润最大？
(1) 求 x 的值；
(2) 现该超市准备对甲商品每件优惠 a(1≤a≤9)元销售，乙商品的售价不变，则该超市应怎样选择进货方案，能使销售完这 80 件商品所获得的利润最大？
答案：2 (1) 根据题意，得$\frac{360}{x} = \frac{160}{x - 10}$，解得$x = 18$.经检验，$x = 18$是所列分式方程的解，且符合题意，
∴$x$的值是$18$ (2) 设购进甲商品$m$件，则购进乙商品$(80 - m)$件.乙商品每件的进价为$18 - 10 = 8$(元).根据题意，得$18m + 8(80 - m) \leq 820$，解得$m \leq 18$.
∵$m \geq 15$，
∴$15 \leq m \leq 18$.设销售完这$80$件商品所获得的利润为$W$元，则$W = (28 - 18 - a)m + (13 - 8)(80 - m) = (5 - a)m + 400$.当$5 - a ＞ 0$，即$1 \leq a ＜ 5$时，$W$随$m$的增大而增大.
∴当$m = 18$时，$W$取得最大值，此时$80 - m = 62$.当$5 - a = 0$，即$a = 5$时，$W = 400$.当$5 - a ＜ 0$，即$5 ＜ a \leq 9$时，$W$随$m$的减小而增大.
∴当$m = 15$时，$W$取得最大值，此时$80 - m = 65$.综上所述，当$1 \leq a ＜ 5$时，购进甲商品$18$件，乙商品$62$件能使销售完这$80$件商品所获得的利润最大；当$a = 5$时，销售完这$80$件商品所获得的利润为定值，甲、乙商品可以购进符合条件的任意件数；当$5 ＜ a \leq 9$时，购进甲商品$15$件，乙商品$65$件能使销售完这$80$件商品所获得的利润最大
∴$x$的值是$18$ (2) 设购进甲商品$m$件，则购进乙商品$(80 - m)$件.乙商品每件的进价为$18 - 10 = 8$(元).根据题意，得$18m + 8(80 - m) \leq 820$，解得$m \leq 18$.
∵$m \geq 15$，
∴$15 \leq m \leq 18$.设销售完这$80$件商品所获得的利润为$W$元，则$W = (28 - 18 - a)m + (13 - 8)(80 - m) = (5 - a)m + 400$.当$5 - a ＞ 0$，即$1 \leq a ＜ 5$时，$W$随$m$的增大而增大.
∴当$m = 18$时，$W$取得最大值，此时$80 - m = 62$.当$5 - a = 0$，即$a = 5$时，$W = 400$.当$5 - a ＜ 0$，即$5 ＜ a \leq 9$时，$W$随$m$的减小而增大.
∴当$m = 15$时，$W$取得最大值，此时$80 - m = 65$.综上所述，当$1 \leq a ＜ 5$时，购进甲商品$18$件，乙商品$62$件能使销售完这$80$件商品所获得的利润最大；当$a = 5$时，销售完这$80$件商品所获得的利润为定值，甲、乙商品可以购进符合条件的任意件数；当$5 ＜ a \leq 9$时，购进甲商品$15$件，乙商品$65$件能使销售完这$80$件商品所获得的利润最大