3. 某企业下属 A，B 两厂向甲、乙两地运送水泥共 520 吨，A 厂比 B 厂少运送 20 吨，从 A 厂运往甲、乙两地的运费分别为 40 元/吨和 35 元/吨，从 B 厂运往甲、乙两地的运费分别为 28 元/吨和 25 元/吨.
(1) 求 A，B 两厂各运送多少吨水泥.
(2) 现甲地需要水泥 240 吨，乙地需要水泥 280 吨. 受条件限制，从 B 厂运往甲地的水泥最多为 150 吨. 设从 A 厂运往甲地 a 吨水泥，总运费为 w 元. 求 w 与 a 之间的函数解析式，并设计一种总运费最低的运送方案.
(1) 求 A，B 两厂各运送多少吨水泥.
(2) 现甲地需要水泥 240 吨，乙地需要水泥 280 吨. 受条件限制，从 B 厂运往甲地的水泥最多为 150 吨. 设从 A 厂运往甲地 a 吨水泥，总运费为 w 元. 求 w 与 a 之间的函数解析式，并设计一种总运费最低的运送方案.
答案：3 (1) 设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥(x + 20)吨.根据题意，得x + x + 20 = 520，解得x = 250.
∴x + 20 = 270.
∴A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨 (2)
∵从A厂运往甲地a吨水泥，
∴从A厂运往乙地(250 - a)吨水泥，从B厂运往甲地(240 - a)吨水泥，从B厂运往乙地(30 + a)吨水泥.由题意，得w = 40a + 35(250 - a) + 28(240 - a) + 25(30 + a) = 2a + 16220.
∵从B厂运往甲地的水泥最多为150吨，
∴$240 - a \leq 150，$解得$a \geq 90. $
∴w与a之间的函数解析式为$w = 2a + 16220(90 \leq a \leq 240). $
∵2 ＞ 0，
∴w随a的增大而增大.
∴当a = 90时，w取得最小值，此时w =
∴x + 20 = 270.
∴A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨 (2)
∵从A厂运往甲地a吨水泥，
∴从A厂运往乙地(250 - a)吨水泥，从B厂运往甲地(240 - a)吨水泥，从B厂运往乙地(30 + a)吨水泥.由题意，得w = 40a + 35(250 - a) + 28(240 - a) + 25(30 + a) = 2a + 16220.
∵从B厂运往甲地的水泥最多为150吨，
∴$240 - a \leq 150，$解得$a \geq 90. $
∴w与a之间的函数解析式为$w = 2a + 16220(90 \leq a \leq 240). $
∵2 ＞ 0，
∴w随a的增大而增大.
∴当a = 90时，w取得最小值，此时w =
4. (2024·南通二模)为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买 10 台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料. 甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表：
已知甲型机器人搬运 500 千克原材料所用的时间与乙型机器人搬运 750 千克原材料所用的时间相等.
(1) 求 m 的值.
(2) 若该工厂每小时需要用掉原材料 710 千克，则如何购买才能使总费用最少？最少总费用是多少？
已知甲型机器人搬运 500 千克原材料所用的时间与乙型机器人搬运 750 千克原材料所用的时间相等.
(1) 求 m 的值.
(2) 若该工厂每小时需要用掉原材料 710 千克，则如何购买才能使总费用最少？最少总费用是多少？
答案：(1)
由已知得：$\frac{500}{m - 30} = \frac{750}{m}$，
$500m = 750(m - 30)$，
$500m = 750m - 22500$，
$-250m = -22500$，
$m = 90$，
经检验$m = 90$是原方程的根且符合题意。
(2)
设购买甲型机器人$x$台，则购买乙型机器人$(10 - x)$台，总费用为$w$万元。
$w = 4x + 6(10 - x)= - 2x + 60$，
因为$k = - 2\lt 0$，所以$w$随$x$的增大而减小。
甲型机器人每小时搬运$90 - 30 = 60$（千克），乙型机器人每小时搬运$90$千克。
根据每小时需要用掉原材料$710$千克，可得$60x + 90(10 - x)\geqslant 710$，
$60x + 900 - 90x\geqslant 710$，
$- 30x\geqslant 710 - 900$，
$- 30x\geqslant - 190$，
$x\leqslant \frac{19}{3}\approx 6.33$。
因为$x$为整数，所以当$x = 6$时，$w$取最小值，$w_{最小}=-2× 6 + 60 = 48$（万元），此时$10 - x = 4$（台）。
综上，答案为：(1)$m = 90$；(2)购买甲型机器人$6$台，乙型机器人$4$台时总费用最少，最少总费用是$48$万元。
由已知得：$\frac{500}{m - 30} = \frac{750}{m}$，
$500m = 750(m - 30)$，
$500m = 750m - 22500$，
$-250m = -22500$，
$m = 90$，
经检验$m = 90$是原方程的根且符合题意。
(2)
设购买甲型机器人$x$台，则购买乙型机器人$(10 - x)$台，总费用为$w$万元。
$w = 4x + 6(10 - x)= - 2x + 60$，
因为$k = - 2\lt 0$，所以$w$随$x$的增大而减小。
甲型机器人每小时搬运$90 - 30 = 60$（千克），乙型机器人每小时搬运$90$千克。
根据每小时需要用掉原材料$710$千克，可得$60x + 90(10 - x)\geqslant 710$，
$60x + 900 - 90x\geqslant 710$，
$- 30x\geqslant 710 - 900$，
$- 30x\geqslant - 190$，
$x\leqslant \frac{19}{3}\approx 6.33$。
因为$x$为整数，所以当$x = 6$时，$w$取最小值，$w_{最小}=-2× 6 + 60 = 48$（万元），此时$10 - x = 4$（台）。
综上，答案为：(1)$m = 90$；(2)购买甲型机器人$6$台，乙型机器人$4$台时总费用最少，最少总费用是$48$万元。