1. (2025·启东期中)如图,在平面直角坐标系中,直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-3,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,与直线 $ OC $ 相交于点 $ C(-2,1) $,点 $ M $ 在直线 $ AB $ 上运动.
(1) 求直线 $ AB $ 对应的函数解析式.
(2) 是否存在点 $ M $,使 $ \triangle OMB $ 的面积是 $ \triangle OBC $ 面积的 $ \frac{1}{2} $? 若存在,求出此时点 $ M $ 的坐标;若不存在,请说明理由.
(3) 若点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,在坐标平面内是否存在点 $ Q $,使得以 $ A,B,P,Q $ 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点 $ Q $ 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) 求直线 $ AB $ 对应的函数解析式.
(2) 是否存在点 $ M $,使 $ \triangle OMB $ 的面积是 $ \triangle OBC $ 面积的 $ \frac{1}{2} $? 若存在,求出此时点 $ M $ 的坐标;若不存在,请说明理由.
(3) 若点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,在坐标平面内是否存在点 $ Q $,使得以 $ A,B,P,Q $ 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点 $ Q $ 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案：
1．（1）设直线AB对应的函数解析式为$y=kx+b$.将$A(-3,0)，C(-2,1)$代入，得$\begin{cases}0=-3k+b,\\1=-2k+b.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=3.\end{cases}$
∴直线AB对应的函数解析式为$y=x+3$
（2）存在．
∵直线AB对应的函数解析式为$y=x+3$，
∴令$x=0$，则$y=3$．
∴$B(0,3)$，即$OB=3$.
∵$C(-2,1)$，
∴$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}OB·|-2|=\frac{1}{2}×3×2=3$．
∴$S_{\triangle OMB}=\frac{3}{2}$.设$M(a,a+3)$．
∴$S_{\triangle OMB}=\frac{1}{2}OB·|a|=\frac{1}{2}×3×|a|=\frac{3}{2}|a|=\frac{3}{2}$，解得$a=-1$或$a=1$．
∴$M(1,4)$或$(-1,2)$
（3）存在．
∵$A(-3,0)，B(0,3)$，
∴$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$．如图．①当$AB$是菱形的一条边时，点$P_1$与点$B$关于$x$轴对称时，$Q_1(3,0)$是点$A$关于$y$轴的对称点，四边形$ABQ_1P_1$是菱形；当点$Q_2$在$x$轴上方，四边形$ABP_2Q_2$为菱形时，$AQ_2=AB=3\sqrt{2}$，
∴$Q_2(-3,3\sqrt{2})$．同理，可得当四边形$ABP_3Q_3$为菱形时，$Q_3(-3,-3\sqrt{2})$．②当$AB$是菱形的对角线时，设$P_4(0,s)，Q_4(m,n)$，
∴$AB$的中点即为$P_4Q_4$的中点，且$P_4A=P_4B$（即$P_4A^2=P_4B^2$）．
∴$0+m=-3+0$，$s+n=3$，$(-3-0)^2+s^2=(3-s)^2$．
∴$m=-3$，$n=3$，$s=0$．
∴$Q_4(-3,3)$．综上所述，点$Q$的坐标为$(-3,3\sqrt{2})$或$(-3,-3\sqrt{2})$或$(-3,3)$或$(3,0)$
1．（1）设直线AB对应的函数解析式为$y=kx+b$.将$A(-3,0)，C(-2,1)$代入，得$\begin{cases}0=-3k+b,\\1=-2k+b.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=3.\end{cases}$
∴直线AB对应的函数解析式为$y=x+3$
（2）存在．
∵直线AB对应的函数解析式为$y=x+3$，
∴令$x=0$，则$y=3$．
∴$B(0,3)$，即$OB=3$.
∵$C(-2,1)$，
∴$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}OB·|-2|=\frac{1}{2}×3×2=3$．
∴$S_{\triangle OMB}=\frac{3}{2}$.设$M(a,a+3)$．
∴$S_{\triangle OMB}=\frac{1}{2}OB·|a|=\frac{1}{2}×3×|a|=\frac{3}{2}|a|=\frac{3}{2}$，解得$a=-1$或$a=1$．
∴$M(1,4)$或$(-1,2)$
（3）存在．
∵$A(-3,0)，B(0,3)$，
∴$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$．如图．①当$AB$是菱形的一条边时，点$P_1$与点$B$关于$x$轴对称时，$Q_1(3,0)$是点$A$关于$y$轴的对称点，四边形$ABQ_1P_1$是菱形；当点$Q_2$在$x$轴上方，四边形$ABP_2Q_2$为菱形时，$AQ_2=AB=3\sqrt{2}$，
∴$Q_2(-3,3\sqrt{2})$．同理，可得当四边形$ABP_3Q_3$为菱形时，$Q_3(-3,-3\sqrt{2})$．②当$AB$是菱形的对角线时，设$P_4(0,s)，Q_4(m,n)$，
∴$AB$的中点即为$P_4Q_4$的中点，且$P_4A=P_4B$（即$P_4A^2=P_4B^2$）．
∴$0+m=-3+0$，$s+n=3$，$(-3-0)^2+s^2=(3-s)^2$．
∴$m=-3$，$n=3$，$s=0$．
∴$Q_4(-3,3)$．综上所述，点$Q$的坐标为$(-3,3\sqrt{2})$或$(-3,-3\sqrt{2})$或$(-3,3)$或$(3,0)$
2. 如图,直线 $ y = 2x - 2 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $.
(1) 点 $ A $ 的坐标为
(2) 已知 $ C $ 是直线 $ AB $ 上不同于点 $ B $ 的点,且 $ AC = AB $.
① 求点 $ C $ 的坐标.
② 过动点 $ P(m,0) $ 且垂直于 $ x $ 轴的直线与直线 $ AB $ 交于点 $ E $. 若点 $ E $ 不在线段 $ BC $ 上,则 $ m $ 的取值范围是
(3) 若 $ \angle ABN = 45^{\circ} $,求直线 $ BN $ 对应的函数解析式.
(1) 点 $ A $ 的坐标为
(1,0)
,点 $ B $ 的坐标为 (0,-2)
.(2) 已知 $ C $ 是直线 $ AB $ 上不同于点 $ B $ 的点,且 $ AC = AB $.
① 求点 $ C $ 的坐标.
② 过动点 $ P(m,0) $ 且垂直于 $ x $ 轴的直线与直线 $ AB $ 交于点 $ E $. 若点 $ E $ 不在线段 $ BC $ 上,则 $ m $ 的取值范围是
$m＜0$或$m＞2$
.(3) 若 $ \angle ABN = 45^{\circ} $,求直线 $ BN $ 对应的函数解析式.
答案：
2．（1）$(1,0)$，$(0,-2)$
（2）①如图，过点$C$作$CD⊥ x$轴，垂足为$D$，则$\angle ADC=90°$.在$\triangle ABO$和$\triangle ACD$中，
∵$\angle AOB=\angle ADC=90°$，$\angle BAO=\angle CAD$，$AB=AC$，
∴$\triangle ABO\cong\triangle ACD$．
∴$BO=CD$，$AO=AD$.由（1），易得$OA=1$，$OB=2$，
∴$OD=2$，$CD=2$．
∴点$C$的坐标为$(2,2)$
②$m＜0$或$m＞2$
（3）如图，过点$A$向右下作$AK⊥ AB$，在$AK$上截取$AN=AB$，过点$N$作$NH⊥ x$轴于点$H$，连接$BN$，则$\triangle ABN$是等腰直角三角形，$\angle ABN=45°$．
∴$\angle AOB=\angle BAN=\angle NHA=90°$．
∴$\angle OAB+\angle ABO=90°$，$\angle OAB+\angle NAH=90°$．
∴$\angle ABO=\angle NAH$.在$\triangle ABO$和$\triangle NAH$中，
∵$\angle AOB=\angle NHA$，$\angle ABO=\angle NAH$，$AB=NA$，
∴$\triangle ABO\cong\triangle NAH$．
∴$BO=AH=2$，$AO=NH=1$．
∴$OH=OA+AH=3$．
∴点$N$的坐标为$(3,-1)$.设直线$BN$对应的函数解析式为$y=kx+b$，则$\begin{cases}3k+b=-1,\\b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3},\\b=-2.\end{cases}$
∴直线$BN$对应的函数解析式为$y=\frac{1}{3}x-2$.过点$B$作$BN'⊥ BN$，易得直线$BN'$也满足条件.易求得直线$BN'$对应的函数解析式为$y=-3x-2$.综上所述，满足条件的直线$BN$对应的函数解析式为$y=\frac{1}{3}x-2$或$y=-3x-2$
2．（1）$(1,0)$，$(0,-2)$
（2）①如图，过点$C$作$CD⊥ x$轴，垂足为$D$，则$\angle ADC=90°$.在$\triangle ABO$和$\triangle ACD$中，
∵$\angle AOB=\angle ADC=90°$，$\angle BAO=\angle CAD$，$AB=AC$，
∴$\triangle ABO\cong\triangle ACD$．
∴$BO=CD$，$AO=AD$.由（1），易得$OA=1$，$OB=2$，
∴$OD=2$，$CD=2$．
∴点$C$的坐标为$(2,2)$
②$m＜0$或$m＞2$
（3）如图，过点$A$向右下作$AK⊥ AB$，在$AK$上截取$AN=AB$，过点$N$作$NH⊥ x$轴于点$H$，连接$BN$，则$\triangle ABN$是等腰直角三角形，$\angle ABN=45°$．
∴$\angle AOB=\angle BAN=\angle NHA=90°$．
∴$\angle OAB+\angle ABO=90°$，$\angle OAB+\angle NAH=90°$．
∴$\angle ABO=\angle NAH$.在$\triangle ABO$和$\triangle NAH$中，
∵$\angle AOB=\angle NHA$，$\angle ABO=\angle NAH$，$AB=NA$，
∴$\triangle ABO\cong\triangle NAH$．
∴$BO=AH=2$，$AO=NH=1$．
∴$OH=OA+AH=3$．
∴点$N$的坐标为$(3,-1)$.设直线$BN$对应的函数解析式为$y=kx+b$，则$\begin{cases}3k+b=-1,\\b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3},\\b=-2.\end{cases}$
∴直线$BN$对应的函数解析式为$y=\frac{1}{3}x-2$.过点$B$作$BN'⊥ BN$，易得直线$BN'$也满足条件.易求得直线$BN'$对应的函数解析式为$y=-3x-2$.综上所述，满足条件的直线$BN$对应的函数解析式为$y=\frac{1}{3}x-2$或$y=-3x-2$