3. 如图,点 $ A $ 的坐标为 $ (-6,0) $,直线 $ l $ 经过点 $ B(0,-2) $ 和点 $ C(-2,2) $,交 $ x $ 轴于点 $ D $,连接 $ AC $.
(1) 求直线 $ l $ 对应的函数解析式.
(2) $ E $ 为线段 $ CD $ 上的一点,过点 $ E $ 作 $ EF // x $ 轴,交 $ AC $ 于点 $ F $,且 $ EF = 4 $,设点 $ E $ 的横坐标为 $ m $.
① 求 $ m $ 的值.
② $ N $ 为 $ x $ 轴上一动点,在点 $ N $ 的运动过程中,是否存在以 $ EN $ 为底边的等腰三角形 $ ANE $?若存在,求出点 $ N $ 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) 求直线 $ l $ 对应的函数解析式.
(2) $ E $ 为线段 $ CD $ 上的一点,过点 $ E $ 作 $ EF // x $ 轴,交 $ AC $ 于点 $ F $,且 $ EF = 4 $,设点 $ E $ 的横坐标为 $ m $.
① 求 $ m $ 的值.
② $ N $ 为 $ x $ 轴上一动点,在点 $ N $ 的运动过程中,是否存在以 $ EN $ 为底边的等腰三角形 $ ANE $?若存在,求出点 $ N $ 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案：3．（1）设直线$l$对应的函数解析式为$y=kx+b$.将$B(0,-2)$和$C(-2,2)$代入，得$\begin{cases}b=-2,\\-2k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=-2.\end{cases}$
∴直线$l$对应的函数解析式为$y=-2x-2$
（2）①
∵$E$为线段$CD$上的一点，
∴$E(m,-2m-2)$．
∵$EF// x$轴，
∴$y_F=y_E=-2m-2$.设$AC$所在直线对应的函数解析式为$y=k_1x+b_1$.将$A(-6,0)，C(-2,2)$代入，得$\begin{cases}-6k_1+b_1=0,\\-2k_1+b_1=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=\frac{1}{2},\\b_1=3.\end{cases}$
∴$AC$所在直线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+3$.当$y=-2m-2$时，$x=-4m-10$．
∴$F(-4m-10,-2m-2)$．
∵$EF=4$，
∴$m-(-4m-10)=4$，解得$m=-\frac{6}{5}$
②存在．由（2）①，知$m=-\frac{6}{5}$，
∴$-2m-2=\frac{2}{5}$．
∴$E(-\frac{6}{5},\frac{2}{5})$．
∵$A(-6,0)$，
∴$AE=\sqrt{(-6+\frac{6}{5})^2+(0-\frac{2}{5})^2}=\frac{2\sqrt{145}}{5}$．
∵$\triangle ANE$是以$EN$为底边的等腰三角形，
∴$AN=AE=\frac{2\sqrt{145}}{5}$．
∴点$N$的坐标为$(-6+\frac{2\sqrt{145}}{5},0)$或$(-6-\frac{2\sqrt{145}}{5},0)$
∴直线$l$对应的函数解析式为$y=-2x-2$
（2）①
∵$E$为线段$CD$上的一点，
∴$E(m,-2m-2)$．
∵$EF// x$轴，
∴$y_F=y_E=-2m-2$.设$AC$所在直线对应的函数解析式为$y=k_1x+b_1$.将$A(-6,0)，C(-2,2)$代入，得$\begin{cases}-6k_1+b_1=0,\\-2k_1+b_1=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=\frac{1}{2},\\b_1=3.\end{cases}$
∴$AC$所在直线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+3$.当$y=-2m-2$时，$x=-4m-10$．
∴$F(-4m-10,-2m-2)$．
∵$EF=4$，
∴$m-(-4m-10)=4$，解得$m=-\frac{6}{5}$
②存在．由（2）①，知$m=-\frac{6}{5}$，
∴$-2m-2=\frac{2}{5}$．
∴$E(-\frac{6}{5},\frac{2}{5})$．
∵$A(-6,0)$，
∴$AE=\sqrt{(-6+\frac{6}{5})^2+(0-\frac{2}{5})^2}=\frac{2\sqrt{145}}{5}$．
∵$\triangle ANE$是以$EN$为底边的等腰三角形，
∴$AN=AE=\frac{2\sqrt{145}}{5}$．
∴点$N$的坐标为$(-6+\frac{2\sqrt{145}}{5},0)$或$(-6-\frac{2\sqrt{145}}{5},0)$
4. 如图,在平面直角坐标系中,$ O $ 为坐标原点,直线 $ y = kx + b $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(6,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,与直线 $ y = 2x $ 交于点 $ C(a,4) $.
(1) ① 直线 $ AB $ 对应的函数解析式为
② 若点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,则 $ PA + PC $ 的最小值为
(2) 点 $ Q $ 在 $ x $ 轴上,过点 $ Q $ 作直线 $ l ⊥ x $ 轴,交直线 $ y = 2x $ 于点 $ D $,交直线 $ y = kx + b $ 于点 $ E $. 若 $ DE = 3 $,求点 $ Q $ 的坐标.
(3) 若 $ H $ 为坐标平面内任意一点,是否存在这样的点 $ H $,使以 $ A,O,C,H $ 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,求出点 $ H $ 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) ① 直线 $ AB $ 对应的函数解析式为
$y=-x+6$
；② 若点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,则 $ PA + PC $ 的最小值为
$4\sqrt{5}$
.(2) 点 $ Q $ 在 $ x $ 轴上,过点 $ Q $ 作直线 $ l ⊥ x $ 轴,交直线 $ y = 2x $ 于点 $ D $,交直线 $ y = kx + b $ 于点 $ E $. 若 $ DE = 3 $,求点 $ Q $ 的坐标.
(3) 若 $ H $ 为坐标平面内任意一点,是否存在这样的点 $ H $,使以 $ A,O,C,H $ 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,求出点 $ H $ 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案：
4．（1）①$y=-x+6$
②$4\sqrt{5}$
（2）设点$Q$的坐标为$(m,0)$.
∵$E，D，Q$三点在同一直线上，且点$D$在直线$y=2x$上，点$E$在直线$y=-x+6$上，
∴$D(m,2m)$，$E(m,-m+6)$.又
∵$DE=3$，
∴$|2m-(-m+6)|=3$，解得$m=3$或$m=1$．
∴点$Q$的坐标为$(1,0)$或$(3,0)$
（3）存在．如图．
∵$A(6,0)，C(2,4)$，
∴若以$OC$为对角线，则$CH_1// AO$，$CH_1=AO=6$．
∴点$H_1$的横坐标为$2-6=-4$，点$H_1$的纵坐标与点$C$的纵坐标相等．
∴点$H_1$的坐标为$(-4,4)$.同理，若以$AC$为对角线，则$CH_2// AO$，$CH_2=AO=6$，
∴$H_2(8,4)$.若以$OA$为对角线，易得$H_3(4,-4)$.综上所述，点$H$的坐标为$(8,4)$或$(-4,4)$或$(4,-4)$
4．（1）①$y=-x+6$
②$4\sqrt{5}$
（2）设点$Q$的坐标为$(m,0)$.
∵$E，D，Q$三点在同一直线上，且点$D$在直线$y=2x$上，点$E$在直线$y=-x+6$上，
∴$D(m,2m)$，$E(m,-m+6)$.又
∵$DE=3$，
∴$|2m-(-m+6)|=3$，解得$m=3$或$m=1$．
∴点$Q$的坐标为$(1,0)$或$(3,0)$
（3）存在．如图．
∵$A(6,0)，C(2,4)$，
∴若以$OC$为对角线，则$CH_1// AO$，$CH_1=AO=6$．
∴点$H_1$的横坐标为$2-6=-4$，点$H_1$的纵坐标与点$C$的纵坐标相等．
∴点$H_1$的坐标为$(-4,4)$.同理，若以$AC$为对角线，则$CH_2// AO$，$CH_2=AO=6$，
∴$H_2(8,4)$.若以$OA$为对角线，易得$H_3(4,-4)$.综上所述，点$H$的坐标为$(8,4)$或$(-4,4)$或$(4,-4)$