23.（2025·深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类。已知某体育用品商店排球的单价为 $ 30 $ 元，部分信息如下：
① 篮球、足球、排球各买 $ 1 $ 个的价格为 $ 140 $ 元；
② 购买 $ 2 $ 个足球的费用比购买 $ 1 $ 个篮球多 $ 40 $ 元；
③ 购买 $ 5 $ 个篮球与购买 $ 6 $ 个足球的费用相同。
（1）请你从上述 $ 3 $ 个信息中任选 $ 2 $ 个，求出篮球和足球的单价。
（2）若该学校要购买篮球、足球共 $ 10 $ 个，且足球的个数不超过篮球个数的 $ 2 $ 倍，请问购买多少个篮球时花费最少？最少费用是多少？
① 篮球、足球、排球各买 $ 1 $ 个的价格为 $ 140 $ 元；
② 购买 $ 2 $ 个足球的费用比购买 $ 1 $ 个篮球多 $ 40 $ 元；
③ 购买 $ 5 $ 个篮球与购买 $ 6 $ 个足球的费用相同。
（1）请你从上述 $ 3 $ 个信息中任选 $ 2 $ 个，求出篮球和足球的单价。
（2）若该学校要购买篮球、足球共 $ 10 $ 个，且足球的个数不超过篮球个数的 $ 2 $ 倍，请问购买多少个篮球时花费最少？最少费用是多少？
答案：23. (1)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元。选择不唯一，若选择条件①②。根据题意，得$\begin{cases}x + y + 30 = 140\\2y - x = 40\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 60\\y = 50\end{cases}$，
∴篮球的单价为60元，足球的单价为50元。
(2)设该学校购买篮球m个，则购买足球(10 - m)个。根据题意，得10 - m ≤ 2m，解得m ≥ $\frac{10}{3}$。又
∵m ≤ 10，
∴$\frac{10}{3}$ ≤ m ≤ 10。设学校购买篮球、足球的总费用为w元。根据题意，得w = 60m + 50(10 - m) = 10m + 500。
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大。
∵$\frac{10}{3}$ ≤ m ≤ 10，且m为正整数，
∴当m = 4时，w最小，最小值为540。
∴购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元。
∴篮球的单价为60元，足球的单价为50元。
(2)设该学校购买篮球m个，则购买足球(10 - m)个。根据题意，得10 - m ≤ 2m，解得m ≥ $\frac{10}{3}$。又
∵m ≤ 10，
∴$\frac{10}{3}$ ≤ m ≤ 10。设学校购买篮球、足球的总费用为w元。根据题意，得w = 60m + 50(10 - m) = 10m + 500。
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大。
∵$\frac{10}{3}$ ≤ m ≤ 10，且m为正整数，
∴当m = 4时，w最小，最小值为540。
∴购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元。
24.（2025·如皋期末）如图，在平面直角坐标系中，位于 $ y $ 轴右侧的 $ □ OABC $ 的顶点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $(4,0)$，$(4 + n,1)$，直线 $ l:y = nx + n - 1 $。
（1）直接写出点 $ C $ 的坐标（用含 $ n $ 的式子表示）；
（2）当 $ n = \frac{1}{4} $ 时，求直线 $ l $ 与 $ □ OABC $ 的边的公共点的坐标；
（3）若直线 $ l $ 与 $ □ OABC $ 的边有公共点，请写出 $ n $ 的取值范围。
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（1）直接写出点 $ C $ 的坐标（用含 $ n $ 的式子表示）；
（2）当 $ n = \frac{1}{4} $ 时，求直线 $ l $ 与 $ □ OABC $ 的边的公共点的坐标；
（3）若直线 $ l $ 与 $ □ OABC $ 的边有公共点，请写出 $ n $ 的取值范围。
]答案：24. (1) C(n, 1)
(2)当n = $\frac{1}{4}$时，直线l：y = $\frac{1}{4}$x - $\frac{3}{4}$，B($\frac{17}{4}$, 1)，
∴直线l与x轴的交点为(3, 0)。
∵A(4, 0)，
∴直线l与▱OABC的边OA的交点的坐标为(3, 0)。当y = 1时，1 = $\frac{1}{4}$x - $\frac{3}{4}$，解得x = 7。又
∵B($\frac{17}{4}$, 1)，
∴直线l与▱OABC的边AB有交点。设直线AB对应的函数解析式为y = mx + n。由题意，得$\begin{cases}\frac{17}{4}m + n = 1\\4m + n = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 4\ = -16\end{cases}$，
∴直线AB对应的函数解析式为y = 4x - 16。当4x - 16 = $\frac{1}{4}$x - $\frac{3}{4}$时，解得x = $\frac{61}{15}$，此时y = $\frac{4}{15}$。
∴直线l与边AB的交点的坐标为($\frac{61}{15}$,$\frac{4}{15}$)。综上所述，直线l与▱OABC的边的公共点的坐标为(3, 0)和($\frac{61}{15}$,$\frac{4}{15}$)。
(3)当n＞0，直线l经过点A时，4n + n - 1 = 0，解得n = $\frac{1}{5}$。当直线l经过原点时，n = 1。
∴当$\frac{1}{5}$ ≤ n ≤ 1时，直线l与▱OABC的边有公共点。当n＜0时，直线l经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限，
∴与▱OABC的边没有公共点。综上所述，当$\frac{1}{5}$ ≤ n ≤ 1时，直线l与▱OABC的边有公共点。
(2)当n = $\frac{1}{4}$时，直线l：y = $\frac{1}{4}$x - $\frac{3}{4}$，B($\frac{17}{4}$, 1)，
∴直线l与x轴的交点为(3, 0)。
∵A(4, 0)，
∴直线l与▱OABC的边OA的交点的坐标为(3, 0)。当y = 1时，1 = $\frac{1}{4}$x - $\frac{3}{4}$，解得x = 7。又
∵B($\frac{17}{4}$, 1)，
∴直线l与▱OABC的边AB有交点。设直线AB对应的函数解析式为y = mx + n。由题意，得$\begin{cases}\frac{17}{4}m + n = 1\\4m + n = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 4\ = -16\end{cases}$，
∴直线AB对应的函数解析式为y = 4x - 16。当4x - 16 = $\frac{1}{4}$x - $\frac{3}{4}$时，解得x = $\frac{61}{15}$，此时y = $\frac{4}{15}$。
∴直线l与边AB的交点的坐标为($\frac{61}{15}$,$\frac{4}{15}$)。综上所述，直线l与▱OABC的边的公共点的坐标为(3, 0)和($\frac{61}{15}$,$\frac{4}{15}$)。
(3)当n＞0，直线l经过点A时，4n + n - 1 = 0，解得n = $\frac{1}{5}$。当直线l经过原点时，n = 1。
∴当$\frac{1}{5}$ ≤ n ≤ 1时，直线l与▱OABC的边有公共点。当n＜0时，直线l经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限，
∴与▱OABC的边没有公共点。综上所述，当$\frac{1}{5}$ ≤ n ≤ 1时，直线l与▱OABC的边有公共点。