1. (2024·龙东地区)已知一组数据2,3,3,4,则这组数据的方差是(
A.1
B.0.8
C.0.6
D.0.5
D
)A.1
B.0.8
C.0.6
D.0.5
答案：1.D
解析：
首先计算这组数据的平均数：$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$
然后计算方差：$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{4}[(2 - 3)^2 + (3 - 3)^2 + (3 - 3)^2 + (4 - 3)^2]\\&=\frac{1}{4}[(-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2]\\&=\frac{1}{4}(1 + 0 + 0 + 1)\\&=\frac{1}{4} × 2\\&=0.5\end{aligned}$
D
然后计算方差：$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{4}[(2 - 3)^2 + (3 - 3)^2 + (3 - 3)^2 + (4 - 3)^2]\\&=\frac{1}{4}[(-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2]\\&=\frac{1}{4}(1 + 0 + 0 + 1)\\&=\frac{1}{4} × 2\\&=0.5\end{aligned}$
D
2. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练,他们成绩的平均数相同,方差如下:$s_{甲}^{2}=2.1,s_{乙}^{2}=3.5,$$s_{丙}^{2}=9,s_{丁}^{2}=0.7$,则成绩最稳定的是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案：2.D
解析：
方差是衡量数据波动大小的量，方差越小，数据越稳定。已知$s_{甲}^{2}=2.1$，$s_{乙}^{2}=3.5$，$s_{丙}^{2}=9$，$s_{丁}^{2}=0.7$，比较大小可得$0.7＜2.1＜3.5＜9$，即$s_{丁}^{2}$最小，所以成绩最稳定的是丁。
D
D
3. (2025·烟台)已知求一组数据的方差的算式为$s^{2}=\frac {1}{n}×[(6-\overline {x})^{2}+(8-\overline {x})^{2}+(8-\overline {x})^{2}+(6-$$\overline {x})^{2}+(7-\overline {x})^{2}]$,则下列说法错误的是(
A.n的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个7,7,则这组新数据的方差变小
C
)A.n的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个7,7,则这组新数据的方差变小
答案：3.C
解析：
A. 数据有5个，$n=5$，正确；
B. $\overline{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=7$，正确；
C. 6和8均出现2次，众数是6和8，错误；
D. 加入7,7后，新数据为6,8,8,6,7,7,7，$\overline{x}'=7$，$s'^2=\frac{1}{7}[(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2]=\frac{4}{7}$，原方差$s^2=\frac{1}{5}[(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2]=\frac{4}{5}$，$\frac{4}{7}＜\frac{4}{5}$，方差变小，正确。
C
B. $\overline{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=7$，正确；
C. 6和8均出现2次，众数是6和8，错误；
D. 加入7,7后，新数据为6,8,8,6,7,7,7，$\overline{x}'=7$，$s'^2=\frac{1}{7}[(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2]=\frac{4}{7}$，原方差$s^2=\frac{1}{5}[(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2]=\frac{4}{5}$，$\frac{4}{7}＜\frac{4}{5}$，方差变小，正确。
C
4. 某人5次射击命中的环数分别为5,10,7,x,10.如果这组数据的中位数为8,那么这组数据的方差是
3.6
.答案：4.3.6
解析：
将这组数据从小到大排列：5,7,10,10,x（或其他可能顺序）。
因为数据有5个数，中位数是第3个数，已知中位数为8，所以排序后第3个数是8，即x=8。
这组数据为5,7,8,10,10。
平均数$\bar{x}=\frac{5 + 7 + 8 + 10 + 10}{5}=\frac{40}{5}=8$。
方差$s^{2}=\frac{(5 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}}{5}$
$=\frac{(-3)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}+2^{2}}{5}$
$=\frac{9 + 1 + 0 + 4 + 4}{5}$
$=\frac{18}{5}=3.6$
3.6
因为数据有5个数，中位数是第3个数，已知中位数为8，所以排序后第3个数是8，即x=8。
这组数据为5,7,8,10,10。
平均数$\bar{x}=\frac{5 + 7 + 8 + 10 + 10}{5}=\frac{40}{5}=8$。
方差$s^{2}=\frac{(5 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}}{5}$
$=\frac{(-3)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}+2^{2}}{5}$
$=\frac{9 + 1 + 0 + 4 + 4}{5}$
$=\frac{18}{5}=3.6$
3.6
5. 甲、乙两人进行射击训练,在相同条件下各射击5次,成绩统计如下表:
根据表中所给的数据,若从方差的角度评价甲、乙两人的射击水平,则谁的射击成绩较稳定?
根据表中所给的数据,若从方差的角度评价甲、乙两人的射击水平,则谁的射击成绩较稳定?
答案：5.$\bar{x}_{甲}=\frac{1}{5} × (7 × 2+8 × 2+9 × 0+10 × 1)=8(环)$,$\bar{x}_{乙}=\frac{1}{5} ×$
$(7 × 1+8 × 3+9 × 1+10 × 0)=8(环)$,$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5} × [2 × (7-8)^{2}+$
$2 × (8-8)^{2}+0 × (9-8)^{2}+1 × (10-8)^{2}]=1.2$,$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5} × [1 ×$
$(7-8)^{2}+3 × (8-8)^{2}+1 × (9-8)^{2}+0 × (10-8)^{2}]=0.4$.
$\because 1.2＞0.4$,$\therefore s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2}$.$\therefore$乙的射击成绩较稳定
$(7 × 1+8 × 3+9 × 1+10 × 0)=8(环)$,$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5} × [2 × (7-8)^{2}+$
$2 × (8-8)^{2}+0 × (9-8)^{2}+1 × (10-8)^{2}]=1.2$,$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5} × [1 ×$
$(7-8)^{2}+3 × (8-8)^{2}+1 × (9-8)^{2}+0 × (10-8)^{2}]=0.4$.
$\because 1.2＞0.4$,$\therefore s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2}$.$\therefore$乙的射击成绩较稳定
6. 一组数据的方差为$s^{2}$,如果把这组数据中的每一个数都扩大为原数的3倍,那么所得的一组新数据的方差为(
A.$\frac {s^{2}}{3}$
B.$s^{2}$
C.$3s^{2}$
D.$9s^{2}$
D
)A.$\frac {s^{2}}{3}$
B.$s^{2}$
C.$3s^{2}$
D.$9s^{2}$
答案：6.D
解析：
设原数据为$x_{1},x_{2},···,x_{n}$，平均数为$\overline{x}$，方差$s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}$。
新数据为$3x_{1},3x_{2},···,3x_{n}$，新平均数$\overline{x}'=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}3x_{i}=3\overline{x}$。
新方差$s'^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(3x_{i}-3\overline{x})^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}9(x_{i}-\overline{x})^{2}=9×\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=9s^{2}$。
D
新数据为$3x_{1},3x_{2},···,3x_{n}$，新平均数$\overline{x}'=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}3x_{i}=3\overline{x}$。
新方差$s'^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(3x_{i}-3\overline{x})^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}9(x_{i}-\overline{x})^{2}=9×\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=9s^{2}$。
D
7. (2025·崇川期末)一组数据的方差计算如下:$s^{2}=\frac {1}{4}[(3-\overline {x})^{2}+(4-\overline {x})^{2}+(4-\overline {x})^{2}+(5-\overline {x})^{2}],$则这组数据的方差$s^{2}=$
0.5
.答案：7.0.5
解析：
$\overline{x}=\frac{3+4+4+5}{4}=4$，$s^{2}=\frac{1}{4}[(3-4)^{2}+(4-4)^{2}+(4-4)^{2}+(5-4)^{2}]=\frac{1}{4}(1+0+0+1)=\frac{1}{2}=0.5$